BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR

BAB I
OPERASI PADA HIMPUNAN
Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan dapat memahami dengan baik operasi pada himpunan dan operasi pada himpunan dan dapat memecahkan suatu masalah tentang himpunan.
Kompetensi Khusus :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat :
a. Menentukan irisan dan gabungan dari dua atau lebih himpunan.
b. Menentukan komplemen dari suatu himpunan
c. Memeriksa apakah suatu relasi merupakan suatu relasi biner
d. Memeriksa apakah suatu pemetaan bersifat injektif, surjektif atau bijektif

Deskripsi Singkat :
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek dengan suatu sifat/ciri tertentu. Dalam bab ini akan dibahas mengenai teori himpunan, relasi dan pemetaan yang akan mendasari pokok-pokok bahasan bab-bab berikutnya.

1.1 Himpunan
Secara harafiah himpunan mengandung pengertian sebgai suatu kumpulan atau koleksi / gabungan dari objek-objek. Objek-objek ini baisa disebut anggota atau unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Jadi himpunan dapat didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek dengan suatu sifat/ciri tertentu, dengan kata lain himpunan adalah kumpulan suatu objek yang mempunyai ciri dan karakteristik yang sama. Suatu himpunan biasa dinotasikandengan menggunakan huruf besar/kapital, misalkan A,B,C….. , X, Y, Z, sedangkan unsur-unsur atau anggota-anggota dinotasikan dengan huruf kecil, misalkan a,b,c,k, …..
Misalkan suatu x menyatakan anggota dari himpunan A maka dinotasikan dengan “x A” dan misalkan y menyatakan bukan anggota dari himpunan A maka dinotasikan “y A”. Sedangkan himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dan dinotasikan dengan
Contoh 1.1 :
misalkan + adalah himpunan semua bilangan akhir bulat positif, ditulis Z+ = {0,1,2,3,….}, maka 2 Z+ tetapi -1 Z+
contoh 1.2 :
Misalkan 2Z+ = {0,2,4,6, …. }, maka 2 Z+ tetapi 3 Z+
Definisi 1.1 :
Suatu himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota dari himpunan A merupakan anggota dari himpunan B, yang dilambangkan dengan A
Definisi 1.2 :
Suatu himpunan A dikatakan merupakan himpunan bigian sejati (proper subset) dari himpunan B, jika A dan terdapat sedikitnya satu unsur dari B yang bukan anggota dari A, yang dilambangkan dengan A
Dengan kata lain, A artinya A tetapi B bukan merupakan himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan A bisa juga diartikan A jika dan hanya jika A dimana A ≠ B(A A dimana A≠ B).

Gambar 1.1.
Himpunan Bagian dan Himpunan Bagian Sejati
Contoh 1.3:
Tunjukkan bahwa himpunan bilangn asli N merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan bulat Z, himpunan bilangan bulat Z merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan rasional Q dan himpunan bilangan rasional Q merupakan bagian sejati dari himpunan bilangan real R.
Penyelesaian :
N = (himpunan bilangan asli) = {1,2,3 ….}
Z = (himpunan bilangan bulat) = {…, -2,-1,0,1,2, … }
Q = {himpunan bilangan rasional} = { …,2,-1,5,-1,-0,5,0,0,5,1,…}
R = {himpunan bilangan real} = { …,-2,-1,5,-1,-1/2,-1/4,0,0,25, ½, …}
Disini akan ditunjukkan bahwa N, Z, Z Q, dan Q R, sehingga N Z Q R.

Gambar 1.2,
Himpunan Bagian Sejati dari Sistem Bilangan Real

Definisi 1.3 :
A gabungan B ditulis dengan A B adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A atau anggota B, disimbolkan dengan A B ={x A dan x B}.

Definisi 14 :
A irisan B, ditulis dengan A B adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A, sekaligus anggota B, disimbolkan dengan A B = {x A dan x B}.

Definisi 15 :
Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan anggota-anggota x dengan x € A, yang dinyatakan dengan Ac.

A B A B AC
gambar 1.3
Diagram Venn Suatu gabungan, irisan dan komplemen
Contoh 14 :
Himpunan A = {a,b,c,d,e,f} dari himpunan B = {d,e,f,g}, maka
A B = {d,e,f} dan A B = {a,b,c,d,e,f,g}.
Dari definisi-defini yang ada diperoleh sifat-sifat dari himpunan, sebagai berikut:

Teorema 1.1 :
Untuk sebarang dua himpunan A dan B diperoleh :
A A B = A
A A B = B
Bukti :
Harus dibuktikan A  A B = A dan A B = A dan A B = A A
a. A  A B = A.
Misalkan x € A dan x € B, maka x € A B
A B dan A B B, maka A= A B
b. A B = AA B
misalkan x € A dan x € B
x € A B = A maka A B B sehingga A B.
Dari persamaan a dan b, terbukti bahwa A B = B A B.
(ii) Harus dibuktikan A B  A B = B dan A B = B A B
a. A B  A B = B
Misalkan x A, atau B, maka x keduanya.
x A A B, x A atau x B maka B = A B
b. A B  A B
Misalkan x € A atau € B, sehingga A B
Dari persamaan a dan b, terbukti bahwa A B  A B = B
Teorema 1.2 :
Untuk sebarang tiga himpunan A,B dan C diperoleh :
A (B C) = (A B) (A C)
Bukti :
Yang perlu dibuktikan dari A (B C) = (A B) (A C) adalah :
a. A (B C) = (A B) (A C)
Misalkan x A dan x B, x C.
x A (B C)
x A dan x (B C)
x A dan {x B atau x C)
(x A dan x B) atau (x A dan x C)
x (A B) atau x (A C)
x (A B) (A C)
sehingga A (B C) (A B) (A C)
b. (A B) (A C) A (B C)
Misalkan x A dan x B, x C
x (A B) (A C)
x (A B) atau x (A C)
( x A dan x B)atau (x A dan x C)
x A dan (x B atau x C)
x A dan x (B C)
x A (B C)
sehingga (A B) (A C) A (B C)
dari persamaan a dan b, terbukti bahwa (A B) (A C) A (B C)

Definisi 1.6:
Selisih himpunan A dan B adalah A-B = {x l x A dan x Bc}

A – B
Gambar 1.4.
Diagram Venn suatu selisih dari dua himpunan
Jika himpunan A mempunyai n unsur maka ditulis lAl = n. Jika dua himpunan A dan B masing-masing mempunyai n dan m unsur, mkaa ditulis lAl = n dan lBl = m.
Teorema 1.3 :
Untuk dua himpunan A dan B yang mempunyai masing-masing n dan m unsur, maka lA Bl = lAl + lBl – lA Bl = n + m – lA Bl
Bukti :

A B B
Gambar 1.5.
Diagram Venn gabungan himpunan-himpunan yang saling lepas
Dari gambar 1.5 diilustrasikan A B dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan yang lepas A dan B – A, dan B dapat dinyatakan sebagai gabungan himpunan-himpunan yang lepas A B dan B – A, sehingga di peroleh:
lBl = lB – Al + lA Bl, maka lB-Al = lBl – lA Bl
lA Bl = lAl + lB – Al
= lAl + lBl – lA Bl
= n + m – lA Bl
Definisi 1.7
Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari himpunan bagian dari A. Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan yang mempunyai n anggota (n bilangan bulat) adalah 2”
Contoh 1.7 :
Himpunan kuasa ( power set) dari A= {a,b,c} adalah 23 = 8 yaitu { , {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.
Jika suatu himpunan semua anggotanya adalah himpunan disebut keluarga (family) atau koleksi himpunan dinotasikan dengan huruf cantik.
Contoh 1.8 :
Misalkan Rt = {1,2}, R2, = {1,4}, R3 = {1,2,3} maka keluarga (koleksi) dari himpunan tersebut adalah R = {R1,R2,R3}
Suatu himpunan semesta bisa dinotasikan dengan S, yiatu himpunan yang anggotanya adalah anggota dari semua himpunan yang dibicarakan.
Definisi 18 :
Misalkan R suatu keluarga (koleksi), himpunan tak kosong, maka :
 Gabungan himpunan-himpunan di R adalah himpunan yang didefinisikan dengan :
 untuk suatu
Himpunan ini memuat semua anggota (di S) yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .
 Irisan himpunan-himpunan di adalah himpunan yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .
untuk suatu
Himpunan ini memuat semua anggota (di S) yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .
Contoh 1.9 :
Misalkan = {R1,R2,R3} adalah keluarga ( koleksi ) dari himpunan seperti pada contoh 8, maka :
a. = {1,2,3,4}
b. = {1}

1.2 Relasi
Definisi 1.9 :
Misalkan A dan B merupakan dua himpunan tak kosong, maka suatu relasi T biner dari A ke B adalah suatu himpunan bagian dari AxB, jika A=B, maka T disebut Relasi biner pada A.
Contoh 1.10 :
Relasi < pada himpunan A = {a,b,c} adalah himpunan {(a,b), (a,c), (b,c)} dan relasi ≤ pada A adalah {(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c)}
Bila T suatu relasi pada A maka (a,b) T, ditulis dengan aTb.
Definisi 1.10 :
Misalkan T suatu relasi pada A maka T disebut :
a. Refleksi jika aTa berlaku
b. Simetris jika aTb maka bTa berlaku
c. Transitif jika aTb dan bTc, maka aTc berlaku
d. Trikotomi jika tepat salah satu berlaku :
aTb atau a = b atau bTa
dari definisi didapatkan :
 T disebut relasi ekuivalen pada A, jika T repleksif, simetris, dan transitif.
 T disebut relasi berurut parsial pada A jika T refleksif, anti simetris, dan transitif.
 T disebut relasi terurut total jika T transitif dan trikotomi.
Contoh 1.11 :
Kesamaan merupakan suatu relasi ekuivalen pada sebarang himpunan.
Contoh 1.22 :
Kesebangunan adalah suatu relasi ekivalen pada himpunan semua segitiga.
Contoh 1.13 :
< adalah suatu relasi terurut total pada himpunan semua bilangan rel (rasional, bulat, asli).

1.3 Pemetaan
Definisi 1.11 :
Misalkan A,B himpunan tak kosong, fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu himpunan bagian f dari A x B demikian sehingga untuk setiap a A terdapat satu b B dengan (a,b) f. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).
Dengan kata lain, misalkan A, B suatu himpunan tak kosong. Suatu pengaitan f dari A ke B disebut pemetaan atau fungsi jika :
1. Untuk setiap a A terdapat b B sehingga f(a) = b
2. Untuk sebarang a1,a2 A dengan a1, = a2 maka f(a1) = f(a2).

Gambar 1.6
Pemetaan dari AxB
Pada gambar 1.6 ditujukan bahwa setiap anggota A dipetakan tepat pada suatu anggota B, didefinisikan A x B = {(a,b) l a A dan b B}. Dalam koordinat kartesius pemetaan A x B = B x A.
Contoh 1.15 :
Jika A,B R didefinisikan A = {x l 1 ≤ x ≤ 4} = {1, 2, 3, 4} dan B = { x l 2 ≤ x ≤ 3} = {2,3}. Tunjukan bahwa A x B ≠ B x A !
Penyelesaian :
Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)}
Relasi terhadap B x A = {(2,1, (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}
Dari gambar 1.7 terlihat grafik kartesius A x B ≠ B x A.

Y
4
3
2
1

1 2 3 4 X
A X B

B x A
Gambar 1.7
Grafik Kartesius AxB dan BxA.

Definisi 1.12 :
Misalkan A, B himpunan tak kosong.
1. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan 1 – 1 (injektif) jika untuk sebarang a1, a2, A dengan f(a1) = f(a2) maka a1 = a2.
2. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan onto / pada (surjektif) jika untuk setiap b B terdapat a A sehingga f(a) = b.
3. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan bijektif (korespondensi 1 -1) jika f pemetaan 1- 1 (injektif) dan onto/pada (surjektif).

A B A B A B

Ijektif Surjektif bijektif
Gambar 1.8
Pemetaan injektif, surjektif, dan bijektif
Definisi 1.13:
Misalkan f, g : A  B, suatu fungsi f dikatakan sama dengan g ditulis f = g jika f(a), .
Jika A, B, dan C himpunan dan f : A  B, g : B  C fungsi, maka g o f : A  C adalah fungsi yang didefinisikan dengan (g o f) (a) = g(f(a)) untuk setiap . fungsi g o f ini disebut komposisi dari f dan g.

Teorema 1.4 :
Komposisi fungsi adalah assosiatif yaitu jika f : A  B, g : B  C dan h : C  D fungsi, maka h o (g o f) = (h o g) o f
Bukti :
Misalkan , maka
h o (g o f) (a) = (h o g) o f (a)
h((g o f) (a)) = (h o g) (f(a))]
h(g(f(a))) = h(g(f(a)))
Definisi 1.14 :
Misalkan f : A  B suatu fungsi. Fungsi g : B  A disebut :
1. Balikan kiri dari f jika g o f = iA
2. balikan kanan dari f jika f o g = iB
3. balikan dari f jika g balikan kiri sekaligus balikan kanan dari f, yaitu g o f = iA dan f o g = iB. Bila A = B maka dapat disingkat g o f = iA = f o g.
Contoh 1.16 :
Misalkan f : Z  3Z dengan f(x) = 3x. dan g : Z  3Z dengan g(x) = , . Tunjukan bahwa g balikan kiri dan juga balikan kanan dari f :
Penyelesaian :
(g o f) (x) = g(f(x)) = g(3x) = x = iz, menunjukan bahwa g adalah balikan kiri dari f.
(f o g) (x) = f(g(x)) = f = x = i3Z menunjukkan bahwa g adalah balikan kanan dari f.
Dikarenakan g o f = iZ dan f o g = i3Z maka g saling berbalikan dengan f.

Definisi 1.15 :
Misalkan A dan B suatu himpunan tak kosong, himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika dan hanya terdapat f : A  B fungsi korespondensi 1-1.
Contoh 1.17 :
Himpunan Z dan 3Z adalah ekuivalen, karean terdapat pengaitan f(n) = 3n untuk n yang mendefinisikan fungsi korespondensi 1 – 1.

Definisi 1.16:
Misalkan A suatu himpunan tak kosong. Himpunan A dikatakan hingga (finite). Jika terdapat n bilangan bulat positif demikian sehingga A dan {1, 2, 3, …, n} adalah ekuivalen. Sedangkan himpunan A dikatakan tak hingga (infinite) jika A dan {1, 2, 3, …, n} tidak ekuivalen untuk setiap n bilangan bulat positif.
Contoh 1.18 :
Misalkan H adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang kuran dari 30, maka G adalah suatu himpunan hingga.

1.4 Rangkuman

1. Himpunan adalah kumpulan suatu objek yang mempunyai cirri dan karakteristik yang sama, himpunan dinyatakan dengan huruf besar dan anggota / unsurnya dengan huruf kecil.

2. Gabungan adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A atau anggota B, disimbolkan dengan A B= {x A atau x B}. irisan adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota B, disimbolkan dengan A B= { x A dan x B}. Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan anggota-anggota x dengan x A, yang dinyatakan Ac

3. T disebut relasi ekuivalen pada A, jika T refleksif, simetris, dan transitif. T disebut relasi terurut parsial pada A jika T refleksif, anti simetris, dan transitif. T disebut relasi terurut total jika T transitif dan trikotomi.

4. Dua pemetaan (fungsi) dikatakan sama jika domain dan kodomain dari keduanya sama, dan nilai fungsi dimana-mana sama.

5. Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong. Pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan 1 – 1 (injektif) jika untuk sebarang a1, a2 A dengan f(a1)=f(a2) maka a1 = a2. Pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan onto / pada (surjektif) jika untuk setiap b B terdapat a A sehingga f(a)=b. Pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan bijektif (korespondensi 1 – 1) jika f pemetaan 1 – 1 (injektif) dan onto/pada (surjektif).

1.5 Soal-soal latihan

1. Misalkan A, B dan C himpunan tak kosong. Buktikan :
a. A (B C) = (A B) (A C)
b. = + + – - – +
c. A – (B C)=(A-B) (A-C)

2. Seratus mahasiswa diberikan kuisioner tentang mata kuliah yang digemarinya. Tujuh puluh orang suka mata kuliah kalkulus, lima puluh orang suka mata kuliah aljabar dan empat puluh lima orang suka mata kuliah Differensial. Juga 36 orang mengatakan suka mata kuliah Kalkulus dan Aljabar, 22 orang suka mata kuliah Kalkulus dan Differensial, dan 3 orang suka ketiga mata kuliah tersebut. Berapa banyak mahasiswa yang tidak suka ketiga mata kuliah tersebut dan gambarkan grafiknya !

3. Himpunan semesta S={x / x bilangan bulat ; -5 x 20}, diketahui A={-5,-3,-1,1,3,5,7}, B={-2,0,2,4,6} dan C={5,7,19,20}
a. Tentukan (A B) (A C), lalu bandingkan dengan A (B C)
b. Tentukan (A B)c dan (B C) c, lalu bandingkan dengan Ac Bc dan Bc Cc

4. Tentukan relasi < dan pada himpunan A={1,2,3,4}.

5. Tunjukkan bahwa :
a. Kesamaan merupakan suatu relasi ekuivalen pada sebarang himpunan.
b. Kesebangunan adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan semua segitiga.
c. < adalah suatu relasi terurut total pada himpunan semua bilangan real (rasional, bulat, asli)
d. adalah suatu relasi terurut parsial pada himpunan semua bilangan real (rasional, bulat, asli)

6. Misalkan A dan B dua himpunan masing-masing mempunyai n unsure. Tunjukkan bahwa banyaknya bijektif dari A B adalah n !

7. Jika f : A B, g : B C, h : C D, pemetaan sedemikian hingga gof=hof dan f surjektif. Buktikan bahwa g=h

BAB 2
OPERASI BINER PADA HIMPUNAN
BILANGAN BULAT

Kompetensi Umum:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu himpunan terhadap suatu operasi biner.

Kompetensi khusus:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
a. Menentukan operasi biner jika diberikan suatu operasi pada himpunan tertentu
b. Mengidentifikasi sifat-sifat dari operasi biner apakah tertutup, komutatif, assosiatif memiliki identitas dan adanya invers untuk setiap elemen himpunan itu.
c. Menerapkannya dalam operasi penjumlahan
d. Menerapkannya dalam operasi perkalian
e. Menentukan bilangan bulat modulo n

Deskripsi singkat:
Misalkan s adalah suatu himpunan sebarang yang tak kosong, maka pemetaan s X s ke s disebut operasi biner. Dalam bab ini akan diperkenalkan konsep tentang operasi biner dan sifat-sifatnya dengan menggunakan pendekatan pemetaan.

2.1 Sifat-sifat Operasi Biner
Sebelum membicarakan sifat-sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat, terlebih dahulu akan diuraikan secara singkat mengenai himpunan bilangan bulat. Sudah diterangkan sebelumnya bahwa himpunan semua bilangan bulat {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} disimbolkan dengan Z. Untuk himpunan bagian dari Z yaitu {…,-3,-2,-1} dan {0,1,2,3,…} berturut-turut merupakan himpunan semua bilangan bulat negative dan himpunan semua Z- dan Z+. secara singkat dapat ditulis sebagai berikut:
Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Z- = {…,-3,-2,-1}
Z+.= {0,1,2,3,…}
Pada himpunan bilangan bulat Z dikenal dua operasi baku penjumlahan/aditif (+) dan perkalian/ multikatif (.).
Sebagaimana telah diketahui setiap pasang bilangan bulat dapat ditambahkan (dijumlahkan) maupun dikalikan, begitu pula setiap pasang bilangan rasional atau bilanagan real. Ide penambahan atau perkalian akan didefinisikan secara lebih umum sebagai operasi biner salam suatu himpunan, secara singkat akan dijelaskan dalam definisi berikut:

Definisi 2.1:
Misalkan S adalah suatu himpunan sebarang yang tak kosong, maka pemetaan S x S S disebut operasi biner.

Misalkan f suatu operasi biner dalam S, yaitu suatu pemetaan dari S x S ke S, dan misalkan (a,b) S x S dengan f(a,b) c, maka ditulis a * b = c (dibaca a operasi biner b sama dengan c). Jadi sesuai dengan konsep pemetaan, sesungguhnya pasangan terurut (a,b) S x S dengan c, yang dinotasikan dengan (a,b) c.

Definisi 2.2:
Sifat operasi biner (*) pada suatu himpunan bilangan bulat Z disimbolkan dengan (Z,*).
1. Tertutup
Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka a dan b tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a * b Z
2. Komutatif
Misalkan a,b Z maka a * b = b * a
3. Assosiatif
Misalkan a,b,c Z maka (a * b) * c = a * (b * c)
4. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan a Z maka a * e = e * a = a
5. Adanya unsure balikan atau invers
Misalkan a Z maka a * a-1 = a-1 * a = e

Contoh 2.1:
Misalkan suatu himpunan yang tak kosong S={a,b,c,d}, didefinisikan x * y = y untuk setiap x,y S adalah suatu operasi biner dalam S. Tunjukkan operasi biner dari himpunan tersebut.

Penyelesaian:
Disini akan ditunjukkan daftar operasi biner dalam bentuk table (yang dinamakan daftar Cayley), biasa dipakai untuk mendefinisikan suatu operasi biner dalam himpunan yang banyak anggota / unsurnya terhingga.
Table 2.1
Daftar Cayley (Operasi Biner)
S ={a,b,c,d}yang didefinisikan x * y = y x,y S

y
* A b c d
x a A b c d
b A b c d
c A b c d
d A b c d

Cara membaca daftar Cayley seperti pada table 2.1 adalah sebagai berikut:
1. Unsur yang mau dioperasikan dari sebelah kiri kit abaca kolom paling kiri, misalkan ambil unsure x
2. Kemudian unsure x mau dioperasikan dengan unsure y dari sebelah kanan.
3. Unsur yang terakhir ini dibaca pada baris yang paling atas, sehingga unsure x * y adalah unsur yang sekelompok dengan y sebaris dengan x.

Dengan demikian dalam daftar Cayley yang terdapat dalam table 2.1. dapat kita baca :
a * a = a
a * b = b
a * c = c
a * d = d b * a = a
b * b = b
b * c = c
b * d = d c * a = a
c * b = b
c * c = c
c * d = d d * a = a
d * b = b
d * c = c
d * d = d

Contoh 2.2 :
Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x * y = bila x y dan x * x = x untuk setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan assosiatif.
Penyelesaian :
a. Tertutup
Misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = 1
x * x = 2 * 2 = 2
x * y dan x * x tertutup terhadap Z+, sehingga x,y Z+
b. Komutatif
x, y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = =1
y * x = 3 * 2 = = 1
x * y = y * x komutatif
c. Assosiatif
x, y,z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x * y) * z = (2 * 3)* 4 = * 4 = = 3
x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * = = 1
(x * y) * z x * (y * z) tidak assosiatif

Dari definisi sebelumnya mengenai operasi biner, bila operasi biner mempunyai satu atau lebih operasi biner yang merupakan dasar-dasar Struktur Aljabar, didefinisikan :

Definisi 2.3 :
Struktur Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner pada sistem aljabar tersebut.
Misalkan S suatu himpunan yang dilengkapi dengan sekelompok Operasi biner * dan o, maka S menjadi satu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang dinotasikan (S,*,o) atau (S,o,*)

Contoh 2.3 :
Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan suatu struktur aljabar, yang dinotasikan (Z, +, . )

Definisi 2.4 :
Grupoid adalah suatu struktur aljabar yang mempelajari hanya satu operasi biner (terhadap penjumlahan atau perkalian)

Contoh 2.4 :
Misalkan S adalah suatu himpunan tak kosong, didefinisikan x . y = y untuk setiap x,y S, maka (S, . ) adalah merupakan grupoid.
Contoh 2.5 :
Misalkan S adalah suatu himpunan tak kosong, didefinisikan x + y = y untuk setiap x,y S, maka (S, + ) adalah merupakan grupoid.
Pada sub bab selanjutnya akan dijelaskan secara lebih mendalam mengenai struktur aljabar yang berupa grupoid terhadap penjumlahan dan perkalian.

2.2 Operasi Biner Terhadap Penjumlahan

Pada sub pokok bahasan ini, akan dijelaskan definisi dan contoh dari opersi biner terhadap penjumlahan yang merupakan grupoid, dismbolkan dengan (Z, ) atau (Z,+). Misalkan Z6 = {0,1,2,3,4,5} ini menyatakan bahwa bilangan bulat Z tertutup terhadap {0,1,2,3,4,5}dan (Z6, ) atau (Z6, +) menyatakan bahwa penjumlahan bilangan bulat Z tertutup terhadap Z6 = {0,1,2,3,4,5}

Definisi 2.5 :
Sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlah (Z, ) atau (Z,+) adalah :
1. Tertutup
Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka penjumlahan a dan b tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a + b Z
2. Komutatif
Misalkan a,b Z maka a + b = b + a
3. Assosiatif
Misalkan a,b,c Z maka (a + b) + c = a + (b + c)
4. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan a Z untuk penjumlahan unsur satuan atau identitas e = 0 sehingga a + e = a + 0 = a dan e + a = 0 + a = a
5. Adanya unsur balikan atau invers
Misalkan a Z untuk penjumlahan unsur balikan atau invers dari a adalah (-a), sehingga a + (-a) = a – a = 0 = e dan (-a) + a = -a + a = 0 = e

Contoh 2.6 :
Buatlah table operasi biner Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} terhadap penjumlahan (Z5, +} dan tunjukkan sifat-sifat dari operasi binernya.
Penyelesaian:
Terlebih dahulu kita definisikan operasinya:
0 + 3 = 3 0 + 4 = 4
1 + 3 = 4 1 + 4 = 0
2 + 3 = 0 2 + 4 = 1
3 + 3 = 1 3 + 4 = 2
4 + 3 = 2 4 + 4 = 3
setelah itu kita buat table operasi biner dari (Z5,+)

Tabel 2.2
Operasi biner (Z5,+)
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

untuk mengetahui sifat-sifat penjumlahan operasi binernya dapat dilihat dari table:
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 dan 3 Z5
2 + 3 = 0, karena hasilnya 0 Z5, maka tertutup terhadap Z5
b. Komutatif
Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 dan 3 Z5
2 + 3 = 0
3 + 2 = 0
sehingga 2 + 3 = 3 + 2 = 0
maka Z5 komutatif
c. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2,3 dan 4 Z5
(2 + 3 ) + 4 = 0 + 4 = 4
2 + (3 + 4) = 2 + 2 = 4
sehingga (2 + 3 ) + 4 = 2 + (3 + 4) = 4
maka Z5 assosiatif
d. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 Z5
2 + e = 2 + 0 = 2
2 + e = 0 + 2 = 2
sehingga 2 + e = 2 + e = 2
maka Z5 ada unsur satuan atau identitas
e. Adanya unsure balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 Z5
2 + (-2) = 2 – 2 = 0 = e
(-2) + 2 = -2 + 2 = 0 = e
sehingga 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 = e
maka Z5 ada unsur balikan atau invers.

2.3 Operasi Biner Terhadap Perkalian

Pada sub pokok bahasan ini, akan dijelaskan definisi dan contoh dari opersi biner terhadap perkalian yang merupakan grupoid, dismbolkan dengan (Z, ) atau (Z,.). Misalkan Z6 = {0,1,2,3,4,5} ini menyatakan bahwa bilangan bulat Z tertutup terhadap {0,1,2,3,4,5}dan (Z6, ) atau (Z6, .) menyatakan bahwa perkaliann bilangan bulat Z tertutup terhadap Z6 = {0,1,2,3,4,5}

Definisi 2.6 :
Sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap perkalian (Z, ) atau (Z,.) adalah :
1. Tertutup
Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka perkalian a dan b tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a . b Z
2. Komutatif
Misalkan a,b Z maka a . b = b . a
3. Assosiatif
Misalkan a,b,c Z maka (a . b) . c = a . (b . c)
4. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan a Z untuk perkalian unsur satuan atau identitas e = 1 sehingga a . e = a . 1 = a dan e . a = 1+a=a
5. Adanya unsur balikan atau invers
Misalkan a Z untuk perkalian unsur balikan atau invers dari a adalah
(a-1)= , sehingga a + (a-1) = a . = 1 = e dan a-1 . a= .a = 1 = e

Contoh 2.7 :
buatlah table operasi biner A = {a1, a2, a3 ,a4 ,a5} terhadap perkalian (a, .) dan tunjukkan sifat-sifat dari opersi binernya.
Penyelesaian :
Terlebih dahulu kita definisikan operasinya:
a1 . a2 = a3
a2 . a2 = a4
a3 . a2 = a5
a4 . a2 = a1
a5 . a2 = a2
setelah itu kita buat table operasi biner dari (A, .)

Tabel 2.3
Operasi biner (A,+)
. a1 a2 a3 a4 a5
a1 a2 a3 a4 a5 a1
a2 a3 a4 a5 a1 a2
a3 a4 a5 a1 a2 a3
a4 a5 a1 a2 a3 a4
a5 a1 a2 a3 a4 a5

Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian operasi binernya dapat dilihat dari table:
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari A,
misalkan a1 dan a2 A
a1 . a2 = a3
karena hasilnya a3 A, maka tertutup terhadap A
b. Komutatif
Ambil sebarang nilai dari A
misalkan a1 dan a2 A
a1 . a2 = a3
a2 . a1 = a3
sehingga a1 . a2 = a3 = a2 . a1 = a3
maka A komutatif
c. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari A
misalkan a1 , a2 dan a3 A
(a1 . a2 ) . a3 = a3 . a3 = a1
a1 . (a2 . a3 )= a1 . a5 = a1
sehingga (a1 . a2 ) . a3 = a1 . (a2 . a3 )= a1
maka A assosiatif
d. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari A
misalkan a1 A
a1 . e = a . 1 = a
e + a1 = 1 . a = a
sehingga a1 . e = e + a1 = a
maka A ada unsur satuan atau identitas
e. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari A, misalkan a1 A
a1. a-1= a . = 1
a-1 . a1 = . a= 1
sehingga a1. a-1= a-1 . a1 = 1 = e
maka A ada unsur balikan atau invers.

Masih ada beberapa hal lagi yang dapat kita katakana mengenai grupoid terhadap perkalian.Misalkan kita ambil grupoid dari himpunan semua bilangan bulat yaitu(Z, .).Dalam grupoid tersebut kita tahu jika ab = ac maka b = c dimana a 0,sifat ini dinamakan hukum pencoretan kiri bila ba = ca maka b = c dimana a 0,maka sifat ini dinamakan hukum pencoretan kanan.

Definisi 2.7 :
Sebuah grupoid S dikatakan memenuhi hokum pencoretan kiri jika kesamaan ab =ac mengakibatkan b = c,dimana a 0

Definisi 2.8 :
Sebuah grupoid S dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika kesamaan ba = ca mengakibatkan b = c,dimana a 0.

Definisi 2.9:
Himpunan semua bilangan bulat tak nol merupakan grupoid komutatif terhadap perkalian yang memenuhi hokum pencoretan.

Definisi 2.10:
Himpunan semua bilangan asli merupakan grupoid komutatif terhadap perkalian yang memenuhi hokum pencoretan.

2.4 . Bilangan Bulat Modulo n
Telah dikemukakan, untuk memahami topik-topik yang ada pada struktur aljabar diperlukan suatu contoh sebagai model. Model yang paling mudah dipahami adalah bilangan bulat. Pada bagian ini dibicarakan lebih lanjut tentang bilangan bulat yaitu tentang algoritma pembagian bilangan bulat dan bilangan bulat modulo n dengan menggunakan prindip kongruensi.

Teorema 2.1 : (Algoritma Pembagian)
Misalkan a, b Z dan b 0, maka terdapat q, r Z demikian sehingga a = bq + r, dengan 0 r < . Bilangan bulat q dan r ditentukan secara tunggal oleh a dan b yang diperlukan. Selanjutnya a disebut bilangan yang dibagi, b disebut pembagi, q disebut hasil bagi, dan r disebut sisa.

Definisi 2.9:
Misalkan a, b Z, b dikatakan membagi a, dinotasikan b / a, jika terdapat q Z yang memenuhi a = bq, b disebut pembagi a atau factor dari a. sebaliknya b tidak membagi a, dinotasikan b a, jika tidak terdapat q Z yang memenuhi a = bq.

Contoh 2.10:
4| 8, 4 dikatakan pembagi 8, sebab 8 = 4 . 2

Contoh 2.11:
3 ╪ 8, 3 dikatakan bukan pembagi 8, sebab tidak terdapat q Z yang memenuhi 8 = 3q dengan kata lain 8 3q untuk sebarabg q Z.
Berdasarkan algoritma pembagian bilangan bulat, untuk a, n Z dimana n 0, terdapat q,r Z demikian sehingga a = nq + r, dengan 0 r < . Dalam hal ini dapat ditulis a – r = nq, sehingga dapat dikatakan n membagi a – r, dan dikatakan a dan r kongruen modulo n, ditulis :
a = r (mod n)
secara eksplisit dua bilangan bulat a dan b kongruen modulo n didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.10:
Misalkan a,b,c Z dan n 0, bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, ditulis a = r(mod n), jika membagi (a – b).

Contoh 2.12:
8 2 (mod 3) merupakan kongruen modulo n, karena 8 – 2 = 2 . 3

contoh 2.13:
9 2 (mod 3) bukan merupakan kongruen modulo n, karena 9 – 2 2.3

2.5 Rangkuman

1. Sifat-sifat operasi biner (*) pada suatu himpunan bilangan bulat Z disimbolkan dengan (Z,*) terhadap penjumlahan ataupun perkalian adalah :
• Tertutup
• Komutatif
• Assosiatif
• Adanya unsure satuan atau identitas
• Adanya unsure balikan atau invers

2. Struktur Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada system aljabar tersebut.

3. Grupoid adalah suatu struktur aljabar yang mempelajari hanya satu operasi biner (terhadap penjumlahan atau perkalian).

4. Sebuah grupoid S dikatakan hokum pencoretan kiri jika kesamaan ab=ac mengakibatkan b=c, dimana a 0, dan grupoid S dikatakan memenuhi hokum pencoretan kanan jika kesamaan ba=ca mengakibatkan b=c, dimana a 0.

5. Misalkan a, b Z dan b 0, maka q, r Z demikian sehingga a = bq +r, dengan 0 r < . Bilangan bulat q dan r ditentukan secara tunggal oleh a dan b yang diperlukan. Selanjutnya a disebut bilangan yang dibagi, b disebut pembagi, q disebut hasil bagi, dan r disebut sisa.

6. Misalkan a, b, c Z dan n 0,, bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, ditulis a r (mod n), jika membagi (a-b).
2.6 Soal-soal latihan.
1. Misalkan X = {0,1,2,3} dimana X Z.
Diketahui :
a * b = c
3 * 1 = 0
3 * 2 = 1
3 * 3 = 2
Buatlah table operasi biner dan jelaskan sifat-sifatnya.
2. Untuk sebarang m, n Z
Didefinisikan m * n = m + n + 1
Tunjukkan :
a. E himpunan bilangn genap yang tidak tertutup terhadap operasi biner.
b. K himpunan bilangna ganjil yang tertutup terhadap operasi biner.
3. Tunjukkan sifat-sifat operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ jika a, b Z+
4. Buktikan jika bx = by (b 0, x dan y Z), maka x = y. gunakan hokum pencoretan kiri.
5. Tunjukkan apakah perkalian matriks A = dan B = adalah komutatif atau bukan.
6. Buktikan teorema 1 (Algoritma Pembagian) dalam sub pokok bahasan 2.4

BAB 3
SEMIGRUP DAN MONOID

Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid.

Kompetensi Khusus:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
a. Menjelaskan serta memberi contoh suatu Semigrup
b. Menjelaskan serta memberi contoh suatu Monoid

Deskripsi Singkat:
Dalam bab ini merupakan kelanjutan dari bab 2, jika dalam bab sebelumnya dijelaskan mengenai struktur aljabar yang mempunyai satu atau dua operasi biner, dalam bab ini akan dibahas mengenai Semigrup yang mempunyai satu prasyarat tertutup dan assosiatif dan operasinya dan bila Semigrup memiliki unsur kesatuan maka dinamakan Monoid.

3.1 Semigrup dan Monoid
Telah kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner. Grupoid adalah suatu struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa, yang merupakan struktur aljabar yang paling sederhana.
Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar dengan satu operasi biner, tetapi sudah diberi prasyarat yaitu sifat tertutup dan assosiatif dari operasinya.

Definisi 3.1:
Suatu grupoid (G, +) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat:
1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan
2. Assosiatif terhadap penjumlahan

Contoh 3.1 :
Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap penjumlahan dengan lambing (N,+), (Z,+), (Q,+) dan (R,+).

Definisi 3.2 :
Suatu grupoid (G, .) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat :
1. (G, .) tertutup terhadap perkalian
2. Assosiatif terhadap perkalian

Contoh 3.2 :
Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap perkalian dengan lambang (N, .) untuk bilangan asli, (Z, .) untuk bilangan bulat, (Q, .) untuk bilangan rasional dan (R, .) bilangan real.

Contoh 3.3 :
Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a * b = a + b + ab. Tunjukkan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.
Penyelesaian :
1. Tertutup
Misalkan a,b N
a * b = a + b + ab N
maka a * b tertutup terhadap bilangan asli N.
2. Assosiatif
Misalkan a,b,c N
(a * b) * c = (a + b + ab) * c
= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c
= a + b + ab + c + ac + bc + abc
a * (b * c) = a * (b + c + bc)
= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)
= a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka a,b,c N berlaku a * b) * c = a * (b * c)
Jadi, (N, *) yang didefinisikan a * b = a + b + ab merupakan suatu semigrup.
Contoh 3.4 :
Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley sebagai berikut:

Table 3.1
Daftar Cayley suatu grupoid

. a b c d
a b c d a
b d a b c
c a b c d
d c d a b

Tunjukkan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.
Penyelesaian :
Akan ditunjukkan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.
Misalkan x =a, y = a dan z = a
(x . y) . z = (a . a) . a
= b . a
= d
x . (y . z) = a . (a . a)
= a . b
= c
Didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c
Sehingga (x . y) . z x. (y . z)
Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.

Suatu semigrup yang memiliki unsure satuan atau identitas dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini :

Definisi 3.3 :
Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat:
1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan
2. Assosiatif terhadap penjumlahan
3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan.
Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan.

Contoh 3.5 :
Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, +), bilangan rasional (Q,+) dan bilangan (R,+), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu nol (0).

Definisi 3.4 :
Suatu grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat :
1. (G, .) tertutup terhadap perkalian
2. Assosiatif terhadap perkalian
3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian.
Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian.

Contoh 3.6 :
Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .) dan bilangan (R, .), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu satu (1).

Kalau kita buat bagan yang melukiskan suatu struktur aljabar yang berupa semigrup dan monoid dapat diperoleh gambar sebagai berikut:

Gambar 3.1
Gambar dari suatu Semigrup dan Monoid

3.2 Rangkuman
1. Suatu grupoid (G, *) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat :
• (G, *) tertutup
• Assosiatif
2. Suatu grupoid (G, *) dikatakan smonoid jika memenuhi syarat-syarat :
• (G,*) tertutup
• Assosiatif
• Mempunyai unsure satuan atau identitas
Dengan kata lain, semigrup yang mempunyai unsur satuan atau identitas disebut monoid.

3.3 Soal-soal latihan
1. Misalkan himpunan bilangan asli N, diidentifikasikan sebagai operasi biner x * y = x + y – xy. Tunjukkan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup.
2. Dari soal no 1, tunjukkan bahwa (N,*) merupakan monoid.
3. Tunjukkan bahwa operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ memenuhi sifat-sifat dari:
a. semigrup
b. monoid
4. Misalkan X = {0,1,2,3} dimana X Z.
Diketahui :
a * b = c
3 * 1 = 0
3 * 2 = 1
3 * 3 = 2
Buatlah tabel operasi biner dan apakah memenuhi sifat-sifat semigrup dan monoid.
BAB 4
DASAR-DASAR GRUP

Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup.

Kompetensi Khusus:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
a. Mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi suatu grup
b. Membuktikan dan menerapkan sifat-sifat sederhana suatu grup.
c. Mengidentifikasi suatu himpunan bagian dari suatu Grup merupakan suatu Subgrup atau bukan
d. Menentukan orde suatu Grup

Deskripsi Singkat:
Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Dalam bab ini akan dibahas mengenai sifat-sifat atau syarat suatu grup, himpunan bagian dari Grup yang merupakan Subgrup, serta mementukan orde suatu Grup.

4. Sifat-sifat Grup
Pada bab 3, telah kita pelajari konsep semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (grupod terhadap suatu penjumlahan atau perkalian) yang memiliki prasyarat tertutup dan assosiatif. Sedangkan monoid adalah suatu struktur aljuabar dengan satu operasi biner (semigrup yerhadap penjumlahan atau perkalian)yang setiap anggotanya memiliki unsure satuan atau identitas.
Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syarat-syarat dasar dari suatu grup dan mengaplikasikannya dalam contoh-contoh soal sederhana, baik itu terhdap penjumlahan atau perkalian, adapun definisi mengnai grup adalah:
Definisi 4.1:
Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu grup jika setiap anggotanya memiliki unsure balikan atau invers yaitu :
 a  G  a-1  G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e
Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syarat-syarat dari suatu grup yaiutu memenuhi sifat monoid dan setiap anggotanya memiliki unsure balikan atau invers. Adapun untuk lebih jelasnya mengenai syarat-syarat suatu grup akan dijabarkan dalam definisi berikut ini:

Definisi 4.2 :
Grupoid (G,*) dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat-syarat:
a. Tertutup
Misalkan a, b adalah anggota G maka a dan b tertutup bila a * b  G
b. Asosiatif
Misalkan a, b, c  G maka (a * b) * c = a * (b * c)
c. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan a  G maka a * e = e * a = a
d. Adanya unsure balikan atau invers
Misalkan a  R maka a * a-1 = a-1 * a = e = 0

Contoh 4.1:
Misalkan G ={-1,1} adalah suatu himpunan.
Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap perkalian (G, .)
Penyelesaian:
Tabel 4.1
Daftar Cayley G = {-1,1} terhadap (G,.)
. -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
Dari tabel 4.1 akan ditunjukkan bahwa G = {-1,1} merupakan suatu grup terhadap perkalian (G,.), yaitu :
A. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari G
Misalkan 1 dan -1  G
-1 . 1 = -1
karena hasilnya -1  G, maka tertutup terhadap G
B. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari G
Misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1  G
(a . b) . c = (-1 . -1) . 1 = 1 .1 = 1
a . (b . c) = -1 . (-1 . 1) = -1 . -1 = 1
sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1
maka G assosiatif
C. Adanya unsure satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari G
Misalkan -1  G
-1 . e = -1 . 1 = -1
e . -1 = 1 . -1 = -1
sehingga -1 . e = e . -1 = -1
maka G ada unsure satuan identitas atau invers
D. Adanya unsure balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1  G
-1 . (-1)-1 = -1 . – = 1 = e
(-1)-1 . -1 = – . -1 = 1 = e
Sehingga -1 . (-1)-1 = (-1)-1 . -1 = 1 = e
Maka G ada unsure balikan atau invers
Jadi, G = {-1,1} merupakan grup terhadap perkalian (G, .)
Contoh 4.2 :
Misalkan G = {-1,1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +)
Penyelesaian:
Tabel 4.2
Daftar Cayley G = {-1,1} terhadap (G,+)

. -1 1
-1 -2 0
1 0 2

Berdasarkan daftar Cayley tabel 4.2.
Operasi penjumlahan himpunan G = {-1,1}menghsilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2}adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1,1, maka operasi penjumlahan G = {-1,1}tidak tertutup terhadap himpunannya.
Sehingga G = {-1,1} adalah bukan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).

Contoh 4.3:
Misalkan G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} adalh merupakan himpunan dari Z6. tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesian:
Tabel 4.3
Daftar cayley G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G,+)

+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4

Dari tabel 4.3 akan ditunjukkan bahwa G ={0, 1, 2, 3, 4, 5}merupakan suatu grup terhdap penjumlahan (G,+), yaitu:
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari G
Misalkan 0, 1, 2, 3, 4, 5  G
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
1 + 4 = 5
1 + 5 = 0
karena hasilnya 0, 3, 4, 5  G, maka tertutup terhadap G
b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari G
Misalkan a = 2, b = 4 dan c = 5  G
(a + b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5
a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5
sehingga (a + b) + c = a + (b + c) = 5
maka G assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari G
Misalkan 4  G
4 + e = 4 + 0 = 4
e + 4 = 0 + 4 = 4
sehingga 4 + e = e + 4 = 4
maka G ada unsure satuan identitas atau invers
d. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari G,
Misalkan 4  G
4 + (-4) = 4 – 4 = e
(-4) + 4 = -4 + 4 = e
Sehingga 4 + (-4) = (-4) + 4 = 4 = e
Maka G ada unsur balikan atau invers
Jadi, G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan grup terhadap penjumlahan (G, +).

SEMIGROUP

GROUPOID
MONOID

GROUP

Gambar 4.1,
Bagan dari suatu Grup

Bila suatu grup memenuhi sifat komutatif, dimana a* b = b * a, maka grup tersebut dinamakan grup komutatif atau grup abelian. Adapun definisinya adalah sebagai berikut:

Definisi 4.3 :
Suatu grupoid (G,*) dikatakan grup komutatif (grup abelian) jika memenuhi syarat-syarat :
a. Tertutup
Misalkan a, b adalah anggota G maka a dan b tertutup bila a * b  G
b. Asosiatif
Misalkan a, b, c  G maka (a * b) * c = a * (b * c)
c. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan a  G maka a * e = e * a = a
d. Adanya unsure balikan atau invers
Misalkan a  G maka a * a-1 = a-1 * a = e
e. Komutatif
Misalkan a, b  G maka a * b = b * a

Contoh 4.4:
Dari contoh 4.1, tunjukkan bahwa G = {-1,1} adalah suatu grup komutatif terhadap perkalian (G,.).
Penyelesaian:
Dari contoh 4.1 telah ditunjukkan bahwa G = {-1,1} adalah suatu grup terhdap perkalian (G,.).
Sekarang akan ditunjukkan sifat komutatif dari grup tersebut.
Ambil sebarang nilai dari G :
Misalkan 1 dan -1  G (pada tabel 4.1)
-1 . 1 = -1
1 . -1 = -1
sehingga -1 . 1 = 1 . -1 = -1
karena grup tersebut memnuhi sifat komutatif, maka grup tersebut adaloah grup komutatif atau grupabelian terhadap perkalian (G,.).

Contoh 4.5:
Dari contoh 4.3 tunjukkan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu grup komutatif terhadap penjumlahan (G.+).
Penyelesaian:
Dari contoh 4.3 telah ditunjukkan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G,+).
Sekarang akan ditunjukkan sifatkomutatif dari grup tersebut.
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 dan 5  G (pada tabel 4.3)
1 + 5 = 0
5 + 1 = 0
sehingga 1 + 5 = 5 + 1 = 0
karena grup tersebut memnuhi sifat komutatif, maka grup tersebut adalah grup komutatif atau grup abelian terhadap penjumlahan (G,+)

Ada beberapa sifat dari suatu grup, yang akan dijelaskan dalam teorema berikut ini:

Teorema 4.1
Misalkan (G, .) adalah suatu grup, maka:
a. Jika a  G maka (a-1)-1 = a
b. Jika a, b  G maka (ab)-1 = b-1a-1
Bukti:
1. Dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a-1 . a = e = a . a-1, maka dapat dikatakan bahwa a unsure balikan dari a-1 . dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a-1)-1 = a
2. (ab) (b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 = (a(bb-1))a-1 = (ae)a-1 = aa-1 = e
Dengan cara yang sama didapat :
(b-1a-1) (ab) = b-1(a-1(ab)) = b-1((a-1a)b) = b-1(eb) = b-1b = e
Sehingga dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (ab)-1 = b-1a-1

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

Teorema 4.2:
Misalkan (G,+) adalah suatu grup, maka:
a. Jika a  G, maka -(-a) = a
b. Jika a, b  G, maka -(a+b) = (-a) + (-b)

Teorema 4.3:
Misalkan (G,.)adalah suatuu grup dan a, b, x  G, maka:
a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri)
b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)
Bukti:
a. Misalkan xa = xb
Maka: x-1(xa) = x-1(xb)
(x-1x) a = (x-1x) b
ea = eb
Sehingga : a = b (penghapusan kiri)
b. Misalkan ax = bx
Maka: (ax)x-1 = (bx)x-1
a (x-1x) = b (x-1x)
ae = be
Sehingga : a = b (penghapusan kanan)

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema 4.3 dapat ditulis sebagai berikut:

Teorema 4.4:
Misalkan (G,+)adalah suatuu grup dan a, b, x  G, maka:
a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)
b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

a. Sub Grup

Pada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan subgroup yang merupakan bagian dari grup. Secara harfiah subgroup dapat diartikan sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari grup. Adapun definisinya adalah sebagai berikut:

Definisi 4.5:
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan H  G. (H,*) dikatakan subgroup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*).

Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan bahwa (H,*) adalah subgroup dari grup (G,*), harus melalui langkah-langkah sebagai berikut:
a. Harus ditunjukkan bahwa H  G
b. harus ditunjukkan bahwa (H,*) merupakan suatu grup

Contoh 4.6:
Dari contoh 4.1, tunjukkan bahwa H = {1} adalah merupakan subgroup dari G = {-1,1} terhadap perkalian (G, .).
Penyelesian:
H = {1} merupakan himpunan bagian dari G = {-1,1}sehingga H  G.
Dari tabel 4.1, akan ditunjukkan H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu grup:
a. Tertutup
Misalkan 1  H dan 1 . 1 = 1
karena hasilnya 1  H, maka tertutup terhadap H
b. Assosiatif
Misalkan a = 1, b = 1 dan c = 1  H
(a . b) . c = (1 . 1) . 1 = 1 .1 = 1
a . (b . c) = 1 . (1 . 1) = 1 . 1 = 1
sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1 maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan 1  H
1 . e = 1 . 1 = 1
e . 1 = 1 . 1 = 1
sehingga -1 . e = e . -1 = -1
maka H ada unsur satuan identitas atau invers
d. Adanya unsur balikan atau invers
Misalkan 1  H
1 . (1)-1 = 1 . = 1 = e
(1)-1 . 1 = . 1 = 1 = e
Sehingga 1 . (1)-1 = (1)-1 . 1 = 1 = e, maka G ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu grup, sehingga (H, .) merupakan subgroup dari (G, .).

Contoh 4.7:
Dari contoh 4.3, tunjukkan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhdap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian:
H = {0, 2, 4} adalah merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} sehingga H  G.
Dari tabel 4.3. akan ditunjukkan H = {0, 2, 4}memenuhi syarat-syarat suatu grup:
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
Misalkan 0, 2, 4  H
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2
karena hasilnya 0, 2, 4  H, maka tertutup terhadap H
b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari H
Misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4  H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2
sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 2 maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari H
Misalkan 4  H
4 + e = 4 + 0 = 4
e + 4 = 0 + 4 = 4
sehingga 4 + e = e + 4 = 4
maka H ada unsur satuan identitas atau invers
d. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari H
Misalkan 4  H
4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e
(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e
Sehingga 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e, maka G ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu grup, sehingga (H, +) merupakan subgroup dari (G, +).

Contoh 4.8:
Dari contoh 4.3, tunjukkan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian:
H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H  G.
Akan ditunjukkan bahwa H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu grup:
Ambil sebarang nilai dari H misalkan 2, 3  H
Dari tabel 4.3. didapat : 2 + 3 = 5
5  G tetapi 5  H, sehingga lima tidak tertutup terhadap operasi biner (H,+) maka bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Contoh 4.9:
G = {-1,1} adalah subgroup dari (Z, .), tetapi bukan merupakan subgroup dari (Z,+) karena operasi di Z dan di G = {-1.1} tidak sama.

b. Orde suatu Grup

Misalkan G adalah suatu grup dan a  G,a merupakan unsure atau anggota atau elemen dari grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk atau membangun suatu grup, jumlah dari unsure suatu grup atau subgroup tersebut disebut orde.

Definisi 4.6:
Misalkan (G,*) adalah suatu grup. Banyaknya unsure-unsur dari grup (G,*) disebut orde dari grup (G,*), dilambangkan dengan G. (G,*) disebut grup hingga bila G terhingga (finite) dan disebut grup tak hingga bila G tah hingga.
Definisi4.7:
Orde dari suatu unsur a dalam suatu grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) na = e (e = 1, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.

Contoh 4.10:
Orde dari grup (Z,+) dan (Z, .) adalah tak hingga.

Contoh 4.11:
Orde dari grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah 6 dan orde dari subgroup H = {0, 2, 4}adalah 3.

Contoh 4.12:
Tentukan subgroup dari Grup (Z4,+) dan tentukan orde masing-masing subgroup.
Penyelesaian:
Grup Z4 = {0, 1, 2, 3} orde dari Z4= 4
Subgroup dari unsure-unsur Z4 adalah:
Missal n = 0, 1, 2, 3 dan Ha = {na, n  Z4}
a = 0
H0 = {0}
Sehingga H0= 1
a = 1
H1 = {1, 2, 3, 0}
Sehingga H0= 4
a = 2
H2 = {2, 0}
Sehingga H2= 2
a = 3
H3 = {3, 2, 1, 0}
Sehingga H3= 4
4.4 Rangkuman

a. Grupid (G,*) dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat-syarat:
a. Tertutup
b. Asosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers

2. Suatu Grup dikatakan grup komutatif atau grup abelian jika memenuhi syarat-syarat dari grup dan mempunyai sifat komutatif.

3. (H,*) adalah subgroup dari grup (G,*), harus melalui langkah-langkah sebagai berikut:
a. Harus ditunjukkan bahwa H  G
b. harus ditunjukkan bahwa (H,*) merupakan suatu grup
Dengan kata lain, (G,*) adalah suatu grup dan H  G. (H,*) dikatakan subgroup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*).
4. Misalkan (G,*) adalah suatu grup. Banyaknya unsure-unsur dari grup (G,*) disebut orde dari grup (G,*), dilambangkan dengan G. (G,*) disebut grup hingga bila G terhingga (finite) dan disebut grup tak hingga bila G tah hingga.
5. Orde dari suatu unsur a dalam suatu grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) na = e (e = 1, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.

4.5 Soal-Soal Latihan

1. Misalkan G = {x  Z+} yang didefinisikan operasi biner pada G dengan a * b = a + b + ab, untuk semua a, b  G.
Tunjukkan apakah (G,*) merupakan suatu grup dan periksa apakah (G,*) juga merupakan grup abelian.

2. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif, didefinisikan operasi biner a * b = untuk a, b  Q+ . buktikan apakah operasi biner tersebut merupakan grup da periksa apakah merupakan grup abelian.

3. Misalkan g adalah grup matriks 2 x 2 , didefinisikan :

Buktikan G adalah grup abelian terhadap oprasi biner perkalian (G, .)

4. Misalkan (G,+) adalah suatu grup
Buktikan :
i. -(-a) = a,  a  G
ii. -(a + b) = (-b) + (-a),  a, b  G

5. Misalkan (G,+) adalah suatu grup dan a, b, x  G
Buktikan :
a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)
b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

6. Misalkan G adalah suatu grup dan H  G dengan H  0 dan H terhingga. Buktikan bahwa H suatu subgroup dari G jika H tertutup terhadap operasi yang ada dalam G.

7. Tentukan subgroup yang dibangun oleh unsure-unsur dari grup(Z9,+) dan tentukan orde dari masing-masing subgrupnya.

BAB 5
GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA

Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Grup, Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup.

Kompetensi Khusus:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
1. Memahami dengan baik definisi dari grup siklik
2. Menentukan generator dan orde dari Grup Siklik
3. Memberikan contoh dari Grup Siklik
4. Memahami dengan baik definisi dari Grup Permutasi
5. Memberikan contoh dari Grup Permutasi
6. Memahami dengan baik definisi dari Homomorfisma Grup
7. Memahami dengan baik ketiga-tiga hokum homomorfisma
8. Memberikan contoh dari Homomorfisma Grup

Deskripsi Singkat:
Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dan sifat-sifat atau syarat dalam membentuk suatu Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup.

a. Grup Siklik

Pada bab 4, telah dibahas mengenai orde dari suatu grup dan subgroup. Pada sub pokok bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negatif) atau perkalian dari suatu unsure tetap dari grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan grup siklik.

Definisi 5.1: (Terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a  G sedemikian hingga G = {an  n  Z}. elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.

Definisi 5.2: (terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a  G sedemikian hingga G = {na  n  Z}.

Definisi 5.3:
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan a  G, maka generator a yang membangun suatu subgrup [a] dinamakan subgroup siklik dari (G,*).
Jadi yang dimaksud dengan subgroup siklik yaitu suatu grup yang dibangkitkan oleh suatu unsur.

Definisi 5.4:
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan a  G, maka generator a yang membangun suatu subgrup [a] dimana [a] = G, maka subgroup tersebut dinamakan grup siklik.

Dengan kata lain, grup siklik adalah subgroup yang unsure-unsurnya merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri. Suatu grup siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur.
Grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsure terhingga dinamakan grup siklik berhingga dan grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsure tak terhingga dinamakan grup siklik tak hingga.

Contoh 5.1:
Misalkan G = {-1,1} adalah suatu grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan grup siklik dari grup tersebut.
Penyelesaian:
Generator dari G = {-1,1} adalah -1 dan 1
[-1] = {(-1)n n  Z }
= {(-1)0, (-1)1, (-1)2,…}
= {-1, 1}
[1] = {(1)n n  Z }
= {(1)0, (1)1, (1)2,…}
= {1}
Generator -1 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga:
[-1] = {-1, 1}
Generator 1 adalah membangun grup siklik, sehingga:
[1] = {1}

Contoh 5.2:
Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan grup siklik dari grup tersebut.
Penyelesaian:
Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2, 3
[0] = {n(0) n  Z}
= {0}
[1] = {n(1) n  Z}
= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}
= {0, 1, 2, 3}
[2] = {n(2) n  Z}
= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …}
= {0, 2}
[3] = {n(3) n  Z}
= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …}
= {0, 3, 2, 1}
generator 1 dan 3 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga :
[1] = [3] = {0, 1, 2, 3}
generator 0 dan 2 adalah membangun subgroup siklik, sehingga :
[0] = {0}
[2] = {0, 2}

Contoh 5.3:
Grup (Z,+) merupakan grup siklik tak hingga yang dibangun oleh 1.
Penyelesaian:
[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}
= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Jadi, 1 merupakan generator yang membentuk grup siklik tak hingga.

Contoh 5.4:
Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I4, .). tentukan grup siklik dari grup tersebut.
Penyelesaian:
Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i, dan –i
[1] = {(1)n n  Z }
= {(1)0, (1)1, (1)2,…}
= {1}
[-1] = {(-1)n n  Z }
= {(-1)0, (-1)1, (-1)2,…}
= {-1, 1}
[i] = {(i)n n  Z }
= {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4…}
= {1, i, -1, i}
[-i] = {(-i)n n  Z }
= {…, (-i)-2, (-i)-1(-i)0, (-1)1, (-1)2,…}
= {1, -i, i, -1}
generator i dan –i adaalh membangun suatu grup siklik, sehingga :
[i] = [-i] = {1, -1, i, -i}
generator 1 dan -1 adalah membangun subgroup siklik, sehingga :
[1] = {1}
[-1] = {1, -1}

Teorema 5.1:
Setiap grup siklik adalah grup abelian.
Bukti:
Misalkan (G, .) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {(a)n n  Z }.
Ambil x, y  G, sehingga x = am dan y = an , untuk m, n  Z.
x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . x
Jadi, (G, .) merupakan grup komutatif.
Misalkan (G,+) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {na n  Z }.
Ambil x, y  G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n  Z.
x + y = na + ma = (n + m)a = ma + na = y + x
Jadi, (G,+) merupakan grup komutatif.

Contoh 5.5:
Dari contoh 5.2, tunjukkan bahwa grup siklik tersebut merupakan grup komutatif.
Penyelesaian:
Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu grup siklik dari grup G = {0, 1, 2, 3} terhadap penjumlahan (G,+).
Misalkan x, y  G, sehingga x =na dan y = ma, untuk m, n  Z.
Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator a = 3
x + y = na + ma
= (n + m)a
= 1.3 + 2.3
= (1 + 2).3
= 3.3 = 1
y + x = ma + na
= (m + n)a
= 2.3 + 1.3
= (2 + 1).3
= 3.3 = 1
Jadi, grup siklik G = {0, 1, 2, 3}merupakan grup komutatif.

b. Grup Permutasi

Definisi 5.5:
Suatu pemutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari himpunan n unsure kehimpunan itu sendiri.

Untuk memudahkan digunakan bilangan bulat (1, 2, 3, …, n) untuk menyatakan himpunan n unsur.
Permutasi  disajikan :

Contoh 5.6 :
Misalkan  pemutasi pada himpunan permutasi-permutasi dari bilangan-bilangan bulat (1, 2, 3, 4, 5) sehingga (1) = 2, (2) = 1, (3) = 4, (4) = 5, (2) = 3.
Ditulis permutasi ini :

Jika  dan  adalah dua permutasi, maka hasil kali dari  dan  di definisikan (i) =  ((i)) untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n( yaitu  kali , berarti pertama kita mengerjakan permutasi  kemudian mengerjakan permutasi  pada hasil kalinya).
Contoh 5.7:
Misalkan  dan  dua permutasi yang didefinisikan sebagai berikut :
dan

Penyelesaian:
Untuk menentukan  kita definisikan komposisi   , sehingga :
(1) = ((1)) = (5) = 3
(2) = ((2)) = (4) = 5
(3) = ((3)) = (3) = 4
(4) = ((4)) = (2) = 1
(5) = ((5)) = (1) = 2
Jadi
Untuk menentukan  kita definisikan komposisi   , sehingga :
(1) = ((1)) = (2) = 4
(2) = ((2)) = (1) = 5
(3) = ((3)) = (4) = 2
(4) = ((4)) = (5) = 1
(5) = ((5)) = (3) = 3
Jadi

Definisi 5.6:
Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga ari S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan grup permutasi.

Jadi  permutasi dari A jika dan hanya jika   S(A) dan himpunan A berhingga. Sebarang himpunan permutasi-permutasi yang membentuk grup disebut grup permutasi. Grup dari semua permutasi dari himpunan n unsur disebut grup simetris berderajat n dan dinyatakan dengan (n, o). Order dari n, adalah n! dan bila n > 2 dimana n bilangan bulat positif, maka n tidak komutatif.

Contoh 5.8:
Orde grup 2 adalah 2! = 2, sehingga 2 =

Contoh 5.9:
Orde grup ari 3 adalah 3! = 6, sehingga 3 = {0, 1, 2, 1, 2, 3}, dimana :
0 = dan 1 =
1 = dan 2 =
2 = dan 3 =
Diperoleh tabel komposisi dari grup ini :

Tabel 5.1.
komposisi grup simetris 3
O 0 1 2 1 2 3
0 0 1 2 1 2 3
1 1 2 0 3 1 2
2 2 0 1 2 3 1
1 1 2 3 0 1 2
2 2 3 1 2 0 1
3 3 1 2 1 2 0

Grup tersebut tidak komutatif / abelian, dapat dibuktikan bahwa grup yang sebayak-banyaknya terdiri dari 5 unsur yang abelian. Sedangkan 3 terdiri dari 6 unsur, sehingga 3 merupakan suatu contoh grup tidak abelian dengan unsure terkecil.

Perhatikan segitaga sama sisi dengan titik sudut 1, 2, 3. unsur-unsur 0, 1, 2 dapat ditafsirkan rotasi searah jarum jam dari segitiga sama sisi meneglilingi titik berat bidang.
sebelum rotasi sesudah rotasi
0 : rotasi 00 (3600)

1 : rotasi 1200

2 : rotasi 2400

sebelum pencerminan sesudah pencerminan
0 : pencerminan
terhadap garis bagi  1

1 : pencerminan
terhadap garis bagi  2

2 : pencerminan
terhadap garis bagi  3

Oleh karena alas an ini, 3 juga disebut grup simetris segitiga sama sisi dengan lambing D3 yang berarti grup dihedral ketiga. Grup dihedral ke-n dengan notasi D3 adalah grup simetris segi n yang beraturan.

Definisi 5.7:
Bila a1 adalah unsur-unsur yang berbeda dari {1, 2, 3, ,…, n}, permutasi   n yang didefinisikan oleh:
(a1) = a2, (a2) = a3, …, (ar-1) = ar, (ar) = a1
dan (x) = x bila x  {a1, a2, …, ar} disebut siklus dari r unsur atau siklus-r.
Dari definisi tersebut, bila diperhatikan nilai dari n tak muncul dalam notasi siklus, misalnya :
adalah siklus-4
dan

dan

Contoh 5.10:
Tulislah  = (1 3 4 2) dan  = (1 3) serta  = (1 2)o(3 4) sebagai permutasi dalam 4 . Hitunglah  o  o .
Penyelesaian:
 = (1 3 4 2) =
 = (1 3) =
 = (1 2) o (3 4) = o =
sehingga
 o  o  = o o
=
= (2 4 3)
Suatu permutasi yang tidak siklus dapat dipisahkan menjadi dua atau lebih siklus. Bila  adalah suatu permutasi n dan a  {1, 2, 3, .., n}, maka orbit atau putaran dari a didalam  terdiri dari unsur yang berbeda a, 2(a), 3(a),…
Permutasi dapat dipisahkan menjadi beberapa orbit yang berbeda, dan tiap-tiap orbit diberikan sebagai suatu siklus.
Misalnya  =
Dalam permutasi a, (0) = 3, 2(1) = 3(1) = (2) = 5, dan 4(1) = (5) = 1. jadi orbit dari 1 adalah {1, 3, 2, 5} dan juga merupakan orbit dari 2, 3, dan 5. orbit tersebut diberikan oleh siklus-4 yaitu (1 3 2 5). Orbit dari 4 dan 7 adalah mereka sendiri, karena  tetap pada mereka. Orbit 6 dan 8 adalah {6, 8}, yang diberikan oleh siklus-2 yaitu (6 8). Orbit-orbit dari  dapat digambarkan oleh gambar berikut:

Dapat kita periksa bahwa hasil dari  = (1 3 2 5)o(4)o(6 8)o(7). Dikarenakan tidak ada suatu bilangan yang termasuk ke dalam dua siklus yang berbeda, maka siklus-siklus tersebutdisebut siklus yang saling lepas(disjount).

c. Homomorfisma

Sering kita jumpai adanya dua grup yang memiliki struktur yang sama, seperti pada grup multikatif (perkalian) dari himpunan bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan grup dari matriks-matriks terhadap perkalian matriks, yang memiliki daftar cayley yang sama atau identik.
Jika himpunan bilangan kompleks kita misalkan sebagai himpunan {e, a, b, c} dan grup dari matriks-matriks kita misalkan sebagai himpunan {E, A, B, C}, maka daftar cayley dapat kita buat seperti pada tabel 5.2 dan 5.3.

Tabel 5.2.
Daftar cayley {e, a, b, c}
. E a b c
e e a b c
a a e c b
b B c a e
c C b e a

Tabel 5.3.
Daftar cayley {E, A, B, C}
. E A B C
E E A B C
A A E C B
B B C A E
C C B E A

Dari tabel 5.2. dan 5.3. dapat kita lihat adanya perpadanan satu-satu (1 – 1) antata unsur-unsur dari grup empat bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan grup matriks sedemikian hingga jika x perpadanan dengan x’ dan y perpadanan dengan y’ maka xy berpadanan dengan x’y’, dikatakan perpadanan tersebut sebagai mengawetkan hasilkali.
Dapat disimpulkan dari daftar cayley bahwa kedua grup tersebut struktur-strukturnya memiliki sifat yang sama atau identik, yang dinamakan isomorfik.

Definisi 5.8:
Bila (S, .) dan (T, .) adalah merupakan dua grup, maka fungsi  : S  T disebtu homomorfisma grup, bila :
(a.b) = (a) . (b),  a, b  S
bila grupgrup-grup tersebut memiliki operasi berbeda, misalnya (S,*) dan (T,o), maka fungsi  : (S,*)  (T,o) disebtu homomorfisma grup, bila :
(a * b) = (a) o (b),  a, b  S

Ada beberapa definisi khusus mengenai homorfisma adalah sebagai berikut :

Definisi 5.9:
a. Monomorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang injektif
b. Epimorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang surjektif
c. Isomorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang bijektif

Definisi 5.10:
Suatu homomorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan suat endomorfisma yang bijektif dinamakan automorfisma.

Contoh 5.11:
Tunjukkan bahwa grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan homomorfisma.
Penyelesaian:
Tabel 5.4.
Daftar cayley grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)
+ 0 1 . -1 1
0 0 1 1 -1
1 1 0 -1 1

Dari tabel 5.4. menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsure di (Z2,+) berkorespondensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian (H, .), sehingga terdapat korespondensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut. Hal ini menunjkkan bahwa kedua grup memiliki struktur yantg sama. Jadi kedua grup tersebut dikatakan isomorfik.
Sekarang akan ditunjukkan bahwa pemetaan  : (Z2,+) (H , .) untuk setiap a, b  Z2. Dari table diketahui pemetaan (0) = 1 dan (1) = -1, sehingga :
(a + b) = (a) . (b)
(0 + 1) = (0) . (1)
 (1) = 1 . -1
-1 = -1
Jadi terbukti bahwa  : (Z2, +) (H, .) suatu homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma.

Contoh 5.12:
Misalkan (Z, +) adalah grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukkan bahwa (Z, +) yang didefinisikan pemetaan  : Z Z adalah (x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma.
Penyelesaian :
Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma:
Misalkan x,y Z, maka :
(x + y) = 2 (x + y)
= 2x + 2y
(x + y) = (x) + ( y)
Sehingga  adalah suatu Homomorfisma.
Dalam hal ini Homomorfisma  merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri.

5.4 Rangkuman

1. Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G = {an │n Z}. Grup (G, +) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G={na │n Z}. Elemen a disebut generator dari Grup Siklik tersebut.

2. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu subgroup [a] dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.

3. Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan Grup Permutasi.

4. Bila a1,a2,…ar adalah unsure-unsur yang berbeda dari {1,2,3,…,n}, permutasi  n yang didefinisikan oleh :
 (a1) = a2,  (a2) = a3,…, (ar-1) = ar, (ar) = a1
Dan (x) = x bila x { a1,a2,…ar} disebut suatu siklus dari r unsure atau siklus-r

5. Suatu pemetaan  : S T dari Grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :
 (a . b) =  (a) . (b), a, b S
Suatu pemetaan  : (S,*) (T,o) dari grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :
 (a * b) =  (a) o (b), a, b S
6. Suatu Homomorfisma Grup yang injektif disebut Monomorfisma, suatu Homomorfisma Grup yang surjektif disebut Epimorfisma, dan suatu Homomorfisma Grup yang bijektif disebut Isomorfisma.

7. Suatu Homomorfisma dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma.

5.5 Soal-soal Latihan

1. Diketahui matruks M = adalah suatu Grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (M, .) merupakan suatu Grup Siklik.
2. Diketahui matriks N= adalah suatu Grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (N, .) merupakan suatu Grup Siklik.
3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.
4. Diketahui : θ = dan  = . Tentukan apakah:
a. θ =  θ
b. ( θ) θ = θ ( θ)

5. Selidiki apakah himpunan permutasi-permutasi berikut:
a. S=
b. T =
Terhadap operasi perkalian merupakan suatu Grup.
6. Carilah hasil kali dari permutasi-permutasi berikut:
a. (1 4 6 7) o (2 5 3)
b. (1 2 4 5) o (2 3 4)
c. (3 7 2) o (1 5) o (4 2)

7. Carilah orde Grup dari dan tentukan Grup Dihedral D4, dengan gambar dan buatlah table komposisinya.

8. Dari fungsi f : R R berikut, manakah yang merupakan suatu Isomorfisma dari (R,+) ke (R,+).
a. f(x) =
b. f(x) = 3x – 3
c. f(x) = x3

9. Buktikan bahwa jika (x) = In x, x > 0, x R, maka adalah suatu Isomorfisma dari (R+, +) ke (R,+)
10. Carilah semua Homomorfisma Grup dari :
a. Z ke Z4
b. Z ke D3

BAB 6
GRUP FAKTOR

Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari grup faktor.

Kompetensi Khusus :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat :
a. Menentukan relasi ekuivalen dari Grup
b. Menentukan Koset Kiri dan Koset Kanan dari Grup
c. Menerapkan Teorema Lagrange dalam Grup
d. Memahami dengan baik defenisi dari Subgrup Normal
e. Memahami dengan baik pengertian Grup Faktor

Deskripsi Singkat :
Pada bab 4 telah diperkenalkan konsep tentang subgrup, yaitu suatu himpunan bagian dari suatu Grup yang merupakan Grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam Grup tersebut. Dalam bab ini akan diperkenalkan dengan Subgrup Normal yaitu suatu Subgrup yang mempunyai sifat tambahan. Gabungan dari koset-koset dari suatu Subgrup Normal dapat membentuk suatu Grup yang dinamakan Grup Faktor.

6.1 Relasi Ekuivalen

Pada bab 1, telah dijelaskan secara singkat mengenai relasi. Suatu relasi T dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari A X B. bila pasangan (a,b) merupakan anggota dari T, maka a berelasi dengan b, dan ditulis sebagai aTb. Bila (a,b) bukan merupakan anggota T, maka a tidak berelasi dengan b dan ditulis a=b.
Relasi-relasi dalam kehidupan sehari-hari misalnya “orang tua dari”, “lebih pintar dari”, “berasal dari daerah yang sama dengan”. Sedangkan relasi-relasi dalam matematika misalnya “sama dengan”, adalah anggota dari”, dan “sebangun”. Suatu relasi T dari A ke B mempunyai sifat bahwa untuk suatu unsur a A dan b B, maka aTb atau a=b.
Suatu fungsi f : A B menunjukkan suatu relasi T dari A ke B yang memberikan aTb yang artinya f (a) = b. himpunan bagian T dari A X B adalah grafik dari fungsi tersebut. Dengan demikian maka relasi-relasi adalah keadaan yang umum daripada fungsi-fungsi. Satu unsur dapat berelasi dengan beberapa unsur atau tidak berelasi sama sekali.
Suatu relasi dari himpunan A ke A sendiri disebut relasi pada A. suatu terurut parsial pada suatu himpunan, misalnya “<” pada himpunan bilangan-bilangan real, atau “himpunan bagian dari ” pada suatu himpunan kuasa P(X) adalah relasi pada himpunan-himpunan tersebut. “sama dengan (=)” adalah relasi pada suatu himpunan S dan didefenisikan oleh himpunan bagian {(a,a), a A} dari AXA. Suatu relasi ekuivalen adalah relasi yang mempunyai beberapa sifat yang harus dipenuhi, seperti dalam defenisi berikut:
Defenisi 6.1 :
Suatu relasi T pada himpunan A disebut relasi ekuivalen bila memenuhi sifat-sifat berikut :
a. aTa berlaku a A (sifat Refleksif)
b. aTb maka bTa berlaku a,b A (sifat Simetris)
c. aTb dan bTc, maka aTc berlaku a,b,c A (sifat Transitif)

Bila T adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan A dan a A, maka
[a] = {x A| xTa} disebut kelas ekuivalen yang memuat a. Himpunan dari semua kelas ekuivalen disebut himpunan faktor dari A oleh T, dan ditulis A/T.
Jadi
A/T = {[a]| aTA}
Suatu koleksi dari himpunan-himpunan bagian tak kosong disebut partisi dari himpunan A bila gabungan dari himpunan-himpunan bagian tersebut adalah A dan sebarang dua himpuanan bagian tersebut adalah lepas.
Contoh 6.1 :
Misalkan n adalah bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. Kita katakan bahwa a kongruen dengan b modulo n, bila n membagi a – b, yang ditulis :
A = b mod n
Himpunan dari kelas-kelas ekuivalen tersebut disebut himounan dari bilangan-bilangan bulat modulo n dan ditulis dengan zn. tunjukkan bahwa korelasi kongruen modulo n adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan bilangan bulatz.
Penyelesaian :
A b mod n bila dan hanya bila n | (a-b)
a. Sifat Refleksif
a Z
Bila n | (a-a), ini berarti a a mod n, sehingga aTa
b. Sifat Simetris
a,b Z
Bila n | (a-b), ini berarti a b mod n, sehingga aTb
Bila n | -(a-b)=n | (b-a), ini berarti b a mod n, sehingga bTa
Jadi bila aTb maka bTa
c. Sifat Transitif
a,b,c Z
Bila n | (a-b), ini berarti a b mod n, sehingga aTb
Bila n | (b-c), ini berarti b c mod n, sehingga bTc
Bila n | (a-b) + (b-c) = n | (a-c), ini berarti a b mod n, sehingga aTc
Jadi, bila aTb dan bTc, maka aTc
Jadi kongruensi modulo n adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan Z.

Di dalam relasi kongruensi modulo 2, mempunyai kelas-kelas ekuivalen sebagai berikut :
[0] = {…, -2, 0, 2, 4, 6, …} [2] = {…, 0, 2, 4, 6, 8, …} = [0]
[1] = {…, -1, 1, 3, 5, 7, …} [2] = {…, 1, 3, 5, 7, 9, …} = [1]
Suatu kelas ekuivalen pada bilangan bulat modulo 2 haruslah satu diantara [0] atau [1], dan Z2 = {[0], [1]}
Suatu kelas ekuivalen pada bilangan bulat modulo n adalah Zn = {[0], [1], [2], …, [n – 1]}, merupakan kongruen n dengan sisa pembagian n.
Salah satu himpunan dari kelas-kelas ekuivalen yang termasuk ke dalam sederhana (dasar) adalah himpunan bilangan-bilangan rasional, misalkan dan merupakan bilangan rasional yang sama. Pada konsep dari kelas ekuivalen didefenisikan relasi T pada Z X Z* (dengan Z* = Z – {0}) oleh (a,b)T(c,d) bila dan hanya bila ad = bc. Relasi tersebt adalah relasi ekuivalen pada Z X Z*, dan kelas-kelas ekuivalen tersebut ditulis [(a,b)] oleh . Jadi (1,2)T(2,4), maka = .

6.2 Koset dan Teorema Lagrange

Pada sub bab 6.1 dijelaskan bahwa relasi kongruensi modulo n pada himpunan bilangan bulat Z dapat didefenisikan oleh a b mod n bila dan hanya bila a – b nZ, dimana nZ adalah dubgrup dari Z yang memuat semua bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari n.
Pada sub bab ini, akan dibahas mengenai konsep relasi ekuivalen dan kekongruenan yang didefenisikan ke dalam suatu Grup dengan modulonya salah satu dari Subgrupnya.

Definisi 6.2 :
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan H suatu Subgrup dari G. untuk a,b G, dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo H, dan ditulis a b mod n, bila dan hanya bila ab-1 H.
Pada definisi berikut ini akan dijelaskan mengenai koset kiri dan koset kanan.

Definisi 6.3 :
Relasi a b mod H adalah suatu relasi euivalen pada G. kelas ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk Ha= {ha, h H} disebut koset kanan dari H dalan G bila aH = {ah, h H} disebut koset kiri dari H dalam G. Unsur a disebut generator dari koset tersebut.

Contoh 6.2 :
Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu grup dan H = {0,2} adalah merupakan Subgrup dari G. tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.
Penyelesaian :
(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3
Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}
1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}
2 + H = 2 + {0,2} = {2,1}
3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}
Koset kanan : H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}
H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}
H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}
H + 3 = {0,2} + 3 = {3,1}
Sehingga :
0 + H = H + 0 = {0,2}
1 + H = H + 1 = {1,3}
2 + H = H + 2 = {2,0}
3 + H = H + 3 = {1,3}
Maka koset kiri = koset kanan

Contoh 6.3 :
Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari z. tentukan koset kiri dan koset kanan dari 3Z dalam Z.
Penyelesaian :
Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian.
Diketahui ;
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …)
3Z = {…, -6, -3, 0, 3, -6, …)
a. Terhadap operasi penjumlahan
Koset kiri :
-2 + 3Z = {…, -8, -5, -2, 1, 4, …}
-1 + 3Z = {…, -7, -4, -1, 2, 5, …}
0 + 3Z = {…, -6, -3, -0, 3, 6, …}
-1 + 3Z = {…, -5, -2 1, 4, 7, …}
-1 + 3Z = {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}
Koset kanan :
3Z + (-2) = {…, -8, -5, -2, 1, 4, …}
3Z + (-1) = {…, -7, -4, -1, 2, 5, …}
3Z + 0 = {…, -6, -3, -0, 3, 6, …}
3Z + 1 = {…, -5, -2 1, 4, 7, …}
3Z + 2 = {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}
Koset kiri = Koset kanan
b. Terhadap operasi perkalian
Koset kiri :
-2 . 3Z = {…, 12, 6, 0, -6, -12, …}
-1 . 3Z = {…, 6, 3, 0, -3, -6, …}
0 . 3Z = {0}
1 . 3Z = {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}
2 . 3Z = {…, -12, -6, 0, 6, 12, …}

Koset kanan :
3Z . (-2) = {…, 12, 6, 0, -6, -12, …}
3Z . (-1) = {…, 6, 3, 0, -3, -6, …}
3Z . 0 = {0}
3Z . 1 = {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}
3Z. 2 = {…, -12, -6, 0, 6, 12, …}
Koset kiri = Koset kanan

Contoh 6.4 :
Misalkan G3 adalah suatu Gruo dalam terhadap perkalian dan H = {(1), (1 2 3),
(1 3 2)} adalah Subgrupnya. Carilah koset kiri dan koset kanan dengan generator a = (1 2).
Penyelesaian :
Diketahui :
H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}
a
Koset kiri :

= {(1 2), (2 3), (1 3)}
Koset kanan :

Jadi koset kiri = koset kanan
Dari contoh – contoh tersebut, ternyata bahwa setiap koset mempunyai unsur-unsur yang sama banyaknya. Akan kita gunakan hasil tersebut untuk membuktikan teorema yang terkenal dari Joseph Lagrange (1736-1813).

Teorema 6.1 (Teorema Lagrange)
Bila G adalah suatu Grup terhingga dan H Subgrup dari G, maka |H| membagi |G|.
Bukti :
Misalkan koset-koset kiri dari H dalam G membentuk partisi dari G, sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-koset yang lepas (disjoint) sebagai berikut :
G = a1H a2H a3H … akH
Untuk suatu himpunan terhingga dengan unsur-unsur a1, a2, a3, …, ak G. |H| adalah sebagai banyaknya unsur-unsur dalam tiap-tiap koset.
Jadi, jumlah semua unsur dalam gabungan ;
G = a1H a2H a3H … akH = |G| = k |G|
Oleh karena itu, |H| membagi |G|.
Dengan kata lain, koset-koset dapat membentuk partisi artinya gabungan dari koset-koset itu dapat membentuk Grup itu sendiri dan interaksi dari kedua koset tersebut dapat membentuk himpunan kosong.
Contoh 6.5 :
Dalam contoh 6.2, G = Z, = {0, 1, 2, 3,} dan H = {0, 2}
Misalkan kita ambil koset kiri :
0 + H = {0, 2}
1 + H = {1, 3}
2 + H = {0, 2}
3 + H = {1, 3}
Maka : 0 + H = 2 + H = {0, 2}
1 + H = 3 + H = {1, 3}
Sehingga :
(0 + H) (1 + H) = {0,1,2,3} = G
(0 + H) (1 + H) = ={ }
Definisi 6.4 :
Bila H adalah Subgrup G, maka banyaknya koset yang berbeda dari H dalam G disebut indeks dari H dalam G, dan ditulis :
Ind |G:H|
Definisi 6.5 :
Bila G adalah suatu Grup terhingga dan H adalah merupakan subgrup dari G, maka :
Ind |G : H| =
Definisi 6.6 :
Bila a suatu unsur dari Grup terhingga, maka a|G| = e

Definisi berikut merupakan akibat langsung dari pembuktian teorema Lagrange.
Fungsi teorema Lagrange salah satunya adalah untuk mencari banyaknya koset relatif yang ada pada Subgrupnya. Seperti akan diperlihatkan pada contoh berikut ini.

Contoh 6.6 :
Dalam contoh 2, G = Z4 = {0, 1, 2, 3} dan H = {0,2}
Indeks dari H dalam G adalah
Ind |G : H| =

6.3 Subgrup Normal dan Grup Faktor
Pada sub bab ini akan dibahas mengenai himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan perkalian yang didefenisikan dalam G. misalkan G adalah merupakan suatu Grup dengan H adalah Subgrup dari G dan relasi a b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. akan kita tunjukkan himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan perkalian yang diddifinisikan dalam G berlaku bila dan hanya bila koset kiri dari H dalam G aH = {ah, h H}.
Definisi 6.7 :
Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, Subgrup H dikatakan subgrup Normal dari G g-1hg H untuk setiap g G dan h H.

Definisi 6.8 :
Misalkan H adalahsuatu Subgrup Normal dari Grup G, maka setiap koset kiri dari H dalam G juga merupakan koset kanannya (aH=Ha).
Dari definisi tersebut dapat dikatakan untuk menentukan bahwa suatu Subgrup H adalah Subgrup Normal dari Grup G, maka harus dibuktikan bahwa koset-koset kiri dari H dalam G sama dengan koset-koset kanan dari H dalam G (aH = Ha).
Jika H adalah merupakan Subrup Normal dari Grup (G,*) dan G/N adalah himpunan semua koset-koset kiri atau koset-koset kanan dari N dalam G, yang didefinisikan :
(gH)*(nH) = (g*n)H
Dari penjelasan tersebut, maka adapun definisi dari grup faktor adalah sebagai berikut :

Definisi 6.9 :
Bila H adalah Subgrup Normal dari Grup (G,*), himpunan dari koset-koset
G/H = {H*g | g G} membentuk Grup (N/G,*) yang didefinisikan oleh
H(g1)* H(g2) = H(g1* g2), disebut Grup Faktor G oleh H.

Orde dari grup Faktor (G/N,*) adalah banyaknya koset-koset dari N dalam G, sehingga :
Ind |G/N| = Ind |G:H| =
Contoh 6.7 :
Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G. tentukan Grup Faktor dari G oleh H, yaitu (G/H).

Penyelesaian :
Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Grup tersebut merupakan Subgrup Normal, dimana koset kiri sama dengan koset kanan.
(G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4, dan 5
Koset kiri :
0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}
1 + H = 1 + {0, 2, 4} = {1, 3, 5}
2 + H = 2 + {0, 2, 4} = {2, 4, 0}
3 + H = 3 + {0, 2, 4} = {3, 5, 1}
4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}
5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}
Koset kanan
H + 0= {0, 2, 4} + 0= {0, 2, 4}
H + 1= {0, 2, 4} + 1= {1, 3, 5}
H + 2= {0, 2, 4} + 2 = {2, 4, 0}
H + 3= {0, 2, 4} + 3= {3, 5, 1}
H + 4= {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}
H + 5= {0, 2, 4} + 5= {5, 1, 3}
Sehingga :

0 + H = H + 0= {0, 2, 4}
1 + H = H + 1= {1, 3, 5}
2 + H = H + 2= {2, 4, 0}
3 + H = H + 3= {3, 5, 1}
4 + H = H + 4= {4, 0, 2}
5 + H = H + 5= {5, 1, 3}
Maka : Koset Kiri = Koset Kanan
Sehingga : Subgrup dari H = {0,2} merupakan Subgrup Normal
Sekarang kita akan menentukan Grup Faktor G oleh H yang dibentuk dari Subrup Normal tersebut :
Ind |G/N| = Ind |G:H| =
Unsur-unsur dari grup Faktor tersebut adalah 2
Misalkan kita ambil korset kiri :
0 + H = {0, 2, 4}
1 + H = {1, 3, 5}
2 + H = {2, 4, 0}
3 + H = {3, 5, 1}
4 + H = {4, 0, 2}
5 + H = {5, 1, 3}
Maka :
0 + H = 2 + H = 4 + H = {0, 2, 4}
1 + H = 3 + H = 5 + H = {1, 3, 5}
Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2 :
0 + H = {0, 2, 4}
1 + H = {1, 3, 5}
Adapun daftar Cayley dari Grup Faktor tersebut adalah :
Tabel 6.1
Grup Faktor dari G = Z4 oleh H = {0,2,4}
+ H 1 + H
H H 1 + H
1 + H 1 + H H

BAB 7
RING (GELANGGANG)

Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain, dan Field.

Kompetensi Khusus:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
a. Memahami definisi dari Ring, Ring Komutatif, Ring dengan unsur kesatuan.
b. Memberikan contoh struktur aljabar dengan dua operasi biner yang berupa Ring maupun tidak.
c. Memahami definisi dari Integral Domain
d. Memberikan contoh Ring tanpa pembagi nol (Integral Domain) dan Ring dengan pembagi nol
e. Memahami definisi dari Field
f. Memberikan contoh Field

Deskripsi Singkat:
Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi du operasi biner terhadap penjumlahan dan perkalian. Dalam bab ini akan dibahas sifat-sifat Ring, Integral Domain dan Field.

7.1 Sifat-Sifat Ring

Pada bab terdahulu telah dibicarakan mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan kosong dengan satu operasi biner yaitu terhadap penjumlahan (aditif) atau terhadap perkalian (multiplikatif) yang disebut grup.
Misalkan kita pandang suatu bilangan bulat Z sebagai suatu Grup (Z, +) dan himpunan bilangan bulat yang tidak sama dengan nol Z’ sebagai monoid (Z’, .), tetapi kedua struktur tersebut mengabaikan relasi antara penjumlahan (+) dan perkalian ( . ), misalkan kita ketahui bahwa perkalian tersebut distributif terhadap penjumlahan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan dan perkalian, struktur aljabar ini disebut dengan Ring (Gelanggang). Untuk lebih jelasnya dalam definisi berikut:
Definisi 7.1:
Suatu Ring (R,+,.) adalah suatu himpunan tak kosong dengan operasi biner penjumlahan (+) dan Perkalian(.) pada R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
a. Terhadap penjumlahan (+)
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif dengan sifat-safat sebagai berikut:
1. Tertutup
Misalkan a, b  R  a+b = c, c R
2. Assosiatif
Misalkan a,b,c  R  (a+b) + c = a + (b+c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalakn a  R  a+e = e+a = a
4. Adanya unsur balikan atau invers
Misalkan a  R  a+ (-a) = (-a) + a = e = 0
5. Komutatif
Misalkan a, b  R  b+a = a+b

b. Terhadap perkalian (.)
Untuk (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid (beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam suatu ring tidak perlu mempunyai identitas terhadap perkalian), dengan sifat-sifat sebagai berikut:
1. Tertutup
Misalkan a,b  R  a.b = c, c  R
2. Assosiatif
Misalkan a,b,c  R  (a.b).c = a.(b.c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan aR  a.e = e.a = a
c. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Misalkan a,b,c  R  a . (b+c) = (a.b) + (a.c) dan (a+b).c = (a.c) + (b.c)

Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +, .) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila:
1. (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif
2. (R, .) merupakan suatu Semigrup/ Monoid
(catatan : Beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam suatu Ring tidak perlu mempunyai identitas terhadap perkalian)
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Sebagai catatan yang perlu diingat pada konsep Ring bahwa notasi untuk kedua operasi tersebut boleh apa saja, misalkan (R,+,o) ataupun (R,+,*) ataupun yang lainnya. Kita juga bebas menamakan mana yang merupakan operasi yang pertama ataupun mana operasi yang kedua, asalkan operasi biner tersebut memenuhi syarat-syarat suatu Ring.

Contoh 7. 1:
Tunjukkan bahwa Z4 adalah merupakan suatu ring
Penyelesian:

Tabel 7.1
Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)

+ 0 1 2 3 . 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 2 3 0 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 0 2
3 3 0 1 2 3 0 3 2 1

Dari tabel 7.1. Akan ditunjukkan bahwa Z4 = merupakan suatu ring bila memenuhi:
1. Grup komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +)
• Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4 misalkan 0,1,2,3  Z4
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 0
Karena hasilnya 0, 1, 2, 3  Z4  tertutup terhadap Z4
• Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z4
Misalkan a = 2, b=1, dan c=3  Z4
(a+b) + c = (2+1) + 3 = 3 + 3 = 2
a + (b+c) = 2 + (1+3) = 2 + 4 = 6
sehingga: (a+b) + c = a + (b+c)  Z4 assosiatif
• Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai Z4, misalkan 3  Z4
3+e = 3 + 0 = 3
e+3 = 0 + 3 = 3
sehingga: 3+e = e+3 = 3  Z4 ada unsur satuan atau identitas
• Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari Z4
a + (-a) = (-a) + a = e = 0
0 + 0 = 0
1 + 3 = 0
2 + 2 = 0
3 + 1 = 0
 Z4 ada unsur balikan atau invers
• Komutatif
Ambil sebarang nilai dari Z4
Misalkan a = 2, b = 3 Z4
(a + b) = (2 + 3) = 1
(b + a) = (3 + 2) = 1
Sehingga:
(a + b) = (b + a) = 1
Maka Z4 komutatif
Jadi, Z4 = merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)
2. Monoid terhadap perkalian (Z4, .)
• Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4
Misalkan 0, 1, 2, 3  Z4
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
1 . 2 = 2
1 . 3 = 3
Karena hasilnya 0, 1, 2, 3  Z4, maka Z4 tertutup
• Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z4
Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3  Z4
(a.b).c = (2.1).3 = 2.3 = 2
a.(b.c) = 2.(1.3) = 2.3 = 2
sehingga: (a.b).c = a.(b.c) = 2  Z4 assosiatif
• Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari Z4
Misalkan 3  Z4
3 . e = e . 3
3 . 1 = 1 . 3
3 = 3
 Z4 ada unsur satuan atau identitas
Jadi, Z4 = Monoid terhadap perkalian (Z4, .)
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari Z4
Misalkan a = 2, b = 1, c = 3  Z4
a.(b+c) = 2.(1+3) (a.b)+(a.c) = (2.1) + (2.3)
= 2.0 = 2 + 6
= 0 = 0
Maka, a.(b+c) = (a.b) + (a.c) = 0
(a+b).c = (2+1).3 (a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)
= (3).3 = 2+3
= 1 = 1
Maka, (a+b).c = (a.c) + (b.c) = 1
Jadi, Z4 = distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena Z4 memenuhi semua aksioma yang ada maka Z4 adalah suatu Ring
(Z4, +, .)

Contoh 7.2:
Misalkan R = , (R, +, .) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Contoh 7.3:
Misalkan R = , (R, +, .) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan, tetapi Z2 = , (Z2, +, .) merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan dan memenuhi sifat-sifat dari Ring.

Suatu Ring dikatakan komutatif / abelian bila pada operasi perkalian (multiplikatif) terpenuhi sifat komutatifnya. Secara singkat akan dijelaskan syarat dari Ring Komutatif pada definisi berikut:

Definisi 7.2:
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +,.) dikatakan suatu ring (gelanggang) komutatif (abelian) bila:
1. (R.+) merupakan suatu grup komutatif
2. (R,.) merupakan suatu semigrup / monoid komutatif
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Jadi, pada Ring komutatif (R,.) yang merupakan suatu semigrup atau monoid harus memenuhi sifat-sifat komutatifnya, yaitu:
a.b = b.a,  a,b  R

Contoh 7.4:
Dari contoh 7.1, ditunjukkan bahwa Ring (Z, +, .) merupakan suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian:
Dari contoh 7.1, telah ditunjukkan bahwa Z4 = adalah suatu Ring (Z4, +, .).
Sekarang akan ditunjukkan sifat komutatif dari Ring tersebut.
a.b = b . a,
ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 (pada table 7.1)
2 . 3 = 2
3 . 2 = 2
Sehingga 2 . 3 = 3 . 2 = 2
Karena Ring (Z4, +, .) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4, +,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.

Contoh 7.5:
Misalkan P = dan P Z. Tunjukkan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” afdalah suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian:
Tabel 7.2
Daftar Cayley ( , +) dan ( ,.)
+ Genap ganjil . genap ganjil
genap Genap ganjil genap genap genap
ganjil Ganjil genap ganjil genap ganjil

Dari tabel 7.2 akan ditunjukkan bahwa P = merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi:
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)
• Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan genap, ganjil P
genap + genap = genap
genap + ganjil = ganjil
ganjil + ganjil = genap
karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P
• Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P
(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil
a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil
sehinggga :
(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil
Maka P assosiatif
• Adanya unsur satuan dan identitas
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan genap Z4
genap + e = genap + 0 = genap
e + genap = 0 + genap = genap
sehingga:
genap + e = e + genap = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas
• Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan genap Z4
genap + (-genap) = genap – genap = 0 = e
(-genap) + genap = – genap + genap = 0 = e
Sehingga:
genap + (-genap) = (-genap) + genap = 0 = e
maka P ada unsur balikan atau invers
• Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan a = genap, b = ganjil P
(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil
(b + a) = (ganjil + genap) = ganjil
Sehingga:
(a + b) = (b + a) = ganjil
Maka P komutatif
Jadi, P = merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+).
2. Monoid terhadap perkalian (P, .)
• Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan genap dan ganjil P
genap . ganjil = genap
genap . genap = genap
ganjil . ganjil =ganjil
karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P
• Assosiatif
Ambil sembarang nilai dari P
Misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P
(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap
a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap
sehingga:
(a . b) . c = a . (b . c) = genap
Maka P Assosiatif
• Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan genap Z4
genap . e = genap . 1 = genap
e . genap = 1 . genap = genap
sehingga:
genap . e = e . genap = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas
• Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan a = genap, b = ganjil P
(a . b) = (genap . ganjil) = genap
(b . a) = (ganjil . genap) = genap
Sehingga:
(a . b) = (b . a) = genap
Maka P Komutatif
Jadi, P = merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari P
Misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P
a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)
= genap . (ganjil)
= genap
(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)
= genap + genap
= genap
Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap
(a + b). c = (genap +ganjil). genap
= (ganjil) . genap
= genap
(a.c) + (a.b) = (genap.genap) + (ganjil.genap)
= genap + genap
= genap
Maka, (a + b). c = (a.c) + (a.b) = genap
Jadi, P = distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena P = memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P, +, .).

Telah kita ketahui bahwa suatu Ring merupakan Grup Komutatif terhadap Penjumlahan. Balikan suatu unsur terhadap operasi penjumlahan dinamakan lawan atau invers aditif yang dinyatakan dengan tanda (-). Jadi yang dimaksud dengan –a adalah invers aditif dari a. Misalkan unsur a ditambah invers aditif dari b, yaitu –b, maka ditulis a + (-b) atau a – b.
Teorema 7.1:
Dalam suatu Ring berlaku sifat-sifat:
1. a.0 = 0.a = 0
2. a.(-b) = – (a.b) = (-a).b
3. –(-a) = a
4. –(a+b) = (-a)+(-b)
5. a.(b-c) = a.b – a.c
6. (a-b).c = a.c – b.c
7. (-1).a = -a
8. (-a).(-b) = a.b

7.2 Integral Domain (Daerah Integral)
Salah satu sifat yang banyak digunakan dari sistem bilangan-bilangan yang telah kita kenal adalah bahwa bila ab = 0, maka a = 0 atau b = 0. Sifat tersebut menyatakan bahwa hukum kensel berlaku untuk unsur-unsur (elemen-elemen) yang bukan unsur nol, karena bila ab = ac dan a 0, maka a(b – c) = 0 dan diperoleh b = c.
Definisi 7.3:
Bila (R,+,.) adalah suatu Ring komutatif, suatu unsur bukan nol aR disebut pembagi nol bila ada unsure yang bukan nol bR sedemikian hingga a.b=0

Dengan kata lain suatu unsure a  0  R disebut pembagi nol di R bila a.b = 0 untuk suatu unsur b  0  R

Definisi 7.4:
Suatu ring komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut integral domain (daerah integral).
 (a.b=0  a=0  b=0)

Definisi 7.5:
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,.) dikatakan suatu integral domain (daerah integral) bila:
1 (R,+) merupakan grup komutatif
2 (R,.) merupakan semigrup / monoid komutatif
3 Tidak ada pembagi nol
Misalkan a,b  R
a.b = 0  a=0  b=0
4 Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Contoh 7.6 :
Dari soal 7.5, P = adalah suatu Ring Komutatif. Akan ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.
Penyelesaian:
Diketahui P = adalah suatu Ring Komutatif
Syarat dari Integral Domain adalah Ring komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain:
a.b = 0, untuk a = 0 atau b= 0
Misalkan:
X = adalah himpunan bilangan ganjil dan
Y = adalah himpunan bilangan genap.
Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0, atau b = 0, .
Contoh 7.7:
Jika R adalah suatu daerah integral dan ab = ac untuk ao, serta b,c  R. Tunjukkan bahwa b=c

Penyelesaian:
ab = ac, maka:
ab-ac = 0
a (b-c) = 0
karena R adalah integral domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a0, maka:
b-c = 0
jadi b=c

7.3 Field (Lapangan)
Pada umumnya di dalam suatu Ring, penjumlahan, pengurangan dan perkalian terhadap unsur suatu Ring akan diperoleh hasil, tetapi untuk pembagian tidak selalu iperoleh hasil. Di dalam Integral Domain, unsur-unsurnya dapat dikensel tetapi tidak selalu diperoleh hasil bila dibagi dengan unsur yang bukan nol. Misalkan, bila a,b Z, maka 3a = 3b menghasilkan a = b, tetapi tidak setiap unsur Z dapat dibagi 3.
Ada suatu sistem bilangan-bilangan yang selalu diperoleh hasil bila dibagi unsur yang bukan nol, yang disebut Field (lapangan).
Definisi 7.6:
Field adalah suatu ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk grup komutatif / abelian tyerhadap perkalian. Dengan kata lain suatu field adalah ring komutatif yang mempunyai unsure balikan / invers terhadap perkalian.

Definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,.) dikatakan Field bila:
1. (R,+) merupakan suatu grup komutatif
2. (R,.) merupakan suatu grup komutatif
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Jadi untuk menunjukkan bahwa suatu Ring adalah Field harus kita buktikan Ring itu komutatif dan punya unsur balikan atau inversterhadap perkalian. Atau kita tunjukkan R merupakan suatu Grup Komutatif terhadap penjumlahan.

Contoh 7.9:
Dari soal 7.5, P = genap, ganjil adalah suatu ring komutatif. Akan ditunjukkan bahwa ring komutatif tersebut adalah field.
Penyelesaian:
Diketahui P = genap, ganjil adalah suatu ring komutatif
Syarat field adalah ring komutatif yang mempunyai unsure balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:
aP,  a-1  P,  a.a-1 = a-1.a=1
Misalkan:
a = genap  P
a.a-1 = genap.(genap)-1
= genap .
= 1
a-1.a = (genap)-1 . genap
= . genap
= 1
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = genap,ganjil merupakan Field, karena a.a-1=a1.a = 1, aP
Dari contoh 7.5, dapat kita disimpulkan bahwa P = genap, ganjil dimana P  Z, adalah suatu ring komutatif yang juga merupakan integral domain (daerah integral ) dan juga merupakan Field (lapangan).

7.4 Rangkuman

1. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +, .) dikatakan suatu Ring (gelanggang) bila:
• (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif
• (R, .) merupakan suatu Semigrup / Monoid
• Distributif perkalian terhadap penjumlahan
2. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +, .) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) Komutatif bila:
• (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif
• (R, .) merupakan suatu Semigrup / Monoid
• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

3. Bila (R, +, .) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a R disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b R sedemikian hingga a.b = 0.

4. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +,.) dikatakan suatu Integral Domain (Daerah Integral) bila:
• (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif
• (R, .) merupakan suatu Semigrup / Monoid komutatif
• Tidak ada pembagi nol
• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +, .) dikatakan suatu Field (Lapangan) bila:
• (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif
• (R, .) merupakan suatu Grup Komutatif
• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

7.5 Soal-Soal Latihan

1. Tunjukkan bahwa bilangan bulat (Z, +, .) adalah merupakan suatu Ring Komutatif, dengan penjumalahan dan perkalian pada kelas-kelas kongruensi modulo n yang didefinisikan oleh [x] + [y] = [x + y] dan [x].[y] = [x.y].

2. Misalkan (R, +, .) didefinisikan operasi dan pada R sebagai berikut:
a b = a + b + 1 dan a b = ab + a + b.
Tunjukkan apakah merupakan suatu Ring Komutatif.

3. Tunjukkan bahwa (Q( ), +, .) adalah Ring Komutatif dengan Q( ) = .

4. Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian untuk (Z5, +, .). Tunjukkan apakah merupakan suatu Ring Komutatif.

5. Tunjukkan pada soal no 1, apakah merupakan:
a. Integral Domain
b. Field
6. Tunjukkan pada soal no 2, apakah merupakan:
a. Integral Domain
b. Field
7. Tunjukkan pada soal no 3, apakah merupakan:
a. Integral Domain
b. Field
8. Tunjukkan pada soal no 4, apakah merupakan:
a. Integral Domain
b. Field

BAB 8
SUBRING DAN
IDEAL

Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengindentifikasi suatu ring merupakan subring dan ideal.

Kompetensi Khusus :
Setelah mengikuti pokok bahasaan ini mahasiswa secara rinci diharapkan:
a. Mengidentifikasi suatu ring merupakan suatu subring atau bukan
b. Memberi contohn dari suatu subring
c. Mengidentifikasi suatu ring merupakan ideal atau bukan
d. Memberikan contoh dari suatu ideal

Deskripsi Singkat :
Dalam bab ini menitik beratkan mengenai penjelasan mengenai sifat-sifat subring dan pengertian dari ideal dalam ring yang merupakan suatu subring yang khusus yaitu suatu sub grup aditif yang tertutup terhadap perkalian unsure luar.

8.1 SUBRING
Pada sub pokok bahasan ini akan di jelaskan mengenai struktur bagian dari ring yang disebut subring (gelanggang bagian), adapun definisinya adalah sebagai berikut :
Definisi 8.1.
Misalkan (R, +, . ) adalah suatu ring, s ≠ adalah merupakan himpunan bagian dari R ( S R ). Bila operasi yang sama dengan ( S, +, . ) membentuk suatu ring maka S disebut suatu subring dari R.
Untuk lebih jelasnya kita harus mengetahui syarat-syarat dari subring, yaitu sebagai berikut:
Definisi 8.2
Misalakan (R, +, . ) adalah suatu ring, S adalah himpunan dari R yang disebut subring dari R, bila untuk setiap a, b S berlaku:
1. S ≠
2. a – b S
3. a . b S
Syarat (1) menyatakan bahwa himpunan bagian dari ring disebut bukan himpunan kosong ( ), syarat (2) menyatkan bahwa ( S, +) adalah merupakan grup komutatif. Syarat (3) menyatakan bahwa (S, .) adalah merupakan suatu semi grup.
Sehingga dapat dikatkan bahwa syarat-syarat tersebut telah memenuhi syarat dari suatu Ring. Dikarenakan S adalah himpunan bagian dari R, S R, maka S dapat dikatakan sebagai subring dari R.
Contoh 8.1
Misalkan Z4 = { 0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukkan bahwa S = {0, 2} adalah subring dari Z4.
Penyelesaian :
Akan kita tunjukkan bahwa S = {0, 2}memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring.
1. S ≠ , syarat terpenuhi karena S = {0, 2}
2. a – b S
misalkan 0, 2 S
2 – 0 = 2
2 – 2 = 0
0 – 2 = 2
Sehingga 0, 2 S

3. a . b S
misalkan 0, 2 S
2 . 0 = 0
2 . 2 = 0
0 . 2 = 0
Sehingga 0, S
Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah subring dari Z4.
Kita juga bisa membuktikan S (dalam contoh 1) merupakan suatu subring dari Z4, dengan menunjukkan operasi yang sama pada Z4 terhadap penjumlahan dan perkalian. Sehingga S merupakan Grup komutatif terhadap penjumlahan (S,+) dan juga merupakan semigrup / monoid terhyadap perkalian (S,.). karena (S,+,.) memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring, maka S = {0, 2} adalah subring dari Ring Z4 = { 0, 1, 2, 3}.

Contoh 8.2
Tunjukkan bahwa Q( ) = { a+b |a,b Q } adalah merupakan subring dari R.
Penyelesaian :
Akan kita tunjukkan bahwa Q( ) = { a+b |a,b Q }memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring.
1) S ≠ , syarat terpenuhi karena Q( ) = { a+b |a,b Q }
2) a – b S
misalkan a + b , c + d Q( ), maka :
a + b – c + d = (a-b) + (c-d) Q( )
3) a . b S
misalkan a + b , c + d Q( ), maka :
(a + b ) . (c + d ) = (ac + 2bd) + (ad + bc) Q( )
Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka Q( ) = { a+b |a,b Q } adalah subring dari R.

Sama halnya pada contoh 8.1, kita juga bisa membuktikan Q( ) (dalam contoh 8.2) merupakan suatu subring dari R, dengan operasi yang sama pada R terhadap penjumlahan dan perkalian. Sehingga S adalah merupakan Grup komutatif terhadap penjumlahan (Q( ), +) dan juga merupakan semigrup / monoid terhadap perkalian (Q( ),.). karena (Q( ), +,.) memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring , maka Q( ) = { a+b |a,b Q } adalah subring dari R.
Dari contoh 8.1 dan 8.2 bisa kita simpulkan bahwa bila R adalah suatu Ring, S R dan S ≠ , maka S merupakan suatu subring bila S memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring.
8.2. Ideal
Pada materi grup kita ketahui ada subgroup normal yang merupakan subgroup yang memiliki sifat khusus. Di dalam ring juga ada subring yang memiliki sifat-sifat istimewa yaitu tertutup terhadap perkalian unsure di luar subring. Subring semacam ini dinamakan suatu ideal.
Pada ideal dikenal dengan ideal kiri yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur disebelah kiri dan ideal kanan yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur disebelah kanan. Untuk lebih jelas kita akan melihat dalam definisi berikut :
Definisi 8.3:
Misalkan (R, +, . ) adalah suatu ring dan (S, +, . ) adalah subring R disebut ideal kiri jika untuk setiap a S dan r R maka ar S.

Definisi 8.4:
Misalkan (R, +, . ) adalah suatu ring dan (S, +, . ) adalah subring R disebut ideal kanan jika untuk setiap a S dan r R maka ra S.
Definisi 8.5:
Misalkan (R, +, . ) adalah suatu ring dan (S, +, . ) adalah subring R disebut ideal jika merupakan ideal kiri dan ideal kanan yaitu untuk setiap a S dan r R maka ra S dan ar S.
Definisi 8.6:
Misalkan (R, +, . ) adalah suatu ring, s ≠ adalah merupakan himpunan bagian dari R ( S R ). Disebut ideal kiri setiap a,b S dan r S berlaku:
1. a – b S
2. a . b S
3. ra S
Definisi 8.7 :
Misalkan (R, +, . ) adalah suatu ring, s ≠ adalah merupakan himpunan bagian dari R ( S R ). Disebut ideal kanan setiap a,b S dan r S berlaku:
1. a – b S
2. a . b S
3. ar S
Definisi 8.8:
Misalkan (R, +, . ) adalah suatu ring, s ≠ adalah merupakan himpunan bagian dari R ( S R ). Disebut ideal, bila untuk setiap a,b S dan r S berlaku:
1. a – b S
2. a . b S
3. ra S dan ar S
jadi suatu subring dinamakan ideal bila subring tersebut tertutup terhadap operasi perkalian unsur disebelah kiri ( ideal kiri ) dan subring tersebut juga tertutup terhadap operasi perkalian unsur disebelah kanan ( ideal kanan ).

Contoh 8.3:
Dari contoh 8.1 Misalkan Z4 = { 0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukkan bahwa subring S = {0, 2} adalah suatu ideal.
Penyelesaian :
Pada contoh 8.1 telah kita tunjukan bahwa S = {0, 2} adalah subring dari Z4 = { 0, 1, 2, 3}. Sekarang kita tunjukan bahwa S merupakan suatu ideal, dengan membuktikan bahwa S adalah ideal kiri dan ideal kanan.
Diketahui : 0, 1, 2, 3 Z4 dan 0,2 S
Ideal kiri 0 . 0 = 0
1 . 0 = 0
2 . 0 = 0
3 . 0 = 0
0 . 2 = 2
1 . 2 = 2
2 . 2 = 0
3 . 2 = 2
S merupakan ideal kiri dari Z4
Ideal kanan 0 . 0= 0
0 . 1 = 0
0 . 2 = 0
0 . 3 = 0
2 . 0 = 2
2. 1 = 2
2 . 2 = 0
2 . 3 = 2
S merupakan ideal kanan dari Z4
Jadi S merupakan ideal kiri dan ideal kanan dari Z4 sehingga S adalah ideal dari Z4.
Contoh 8.4:
Misalkan (Z, +, .) adalah suatu Ring maka himpunan bagian dari (Z, +, .) yaitu (2Z, +, .), (3Z, +, .), (4Z, +, .) dan seterusnya merupakan suatu Ideal (Z, +, .)
Contoh 8.5:
Misalkan contoh yang telah diberikan, bila kita telah mengetahui bahwa S adalah suatu Subring dari R, kita cukup mencari nilai dari perkalian unsurnya saja tidak perlu lagi dibuktikan bahwa S adalah suatu Subring. Tetapi bila belum mengetahui bahwa S adalah suatu Subring atau bukan, kita harus membuktikan S terlebih dahulu merupakan suatu Subring, setelah itu kita baru mencari nilai dari perkalian unsurnya yang tertutup terhadap subring tersebut.

Gambar 8. 1
Bagan dari suatu Ideal
8.3 Rangkuman
1. Misalkan (R, +, .) adalah suatu Ring, S adalah merupakan himpunan bagian dari R (S R). bila operasi yang sama dengan (S, +, .) membentuk suatu Ring maka S disebut Subring dari R.
2. Misalkan (R, +, .) adalah suatu Ring, S adalah himpunan bagian dari R yang disebut Subring dari R, bila untuk setiap a,b S, berlaku:
• S
• a – b S
• a . b S
3. Misalkan (R, +, .) adalah suatu Ring dan S merupakan himpunan bagian dari R (S R) disebut Ideal Kiri, bila untuk setiap a,b S, berlaku:
• a – b S
• a . b S
• ra S
4. Misalkan (R, +, .) adalah suatu Ring dan S merupakan himpunan bagian dari R (S R) disebut Ideal Kanan, bila untuk setiap a,b S, berlaku:
• a – b S
• a . b S
• ar S
5. Misalkan (R, +, .) adalah suatu Ring dan S merupakan himpunan bagian dari R (S R) disebut Ideal, bila untuk setiap a,b S, berlaku:
• a – b S
• a . b S
• ra S dan ar S

8.4 Soal-soal Latihan
1. Misalkan R adalah suatu Ring dan A dan B adalah Subring dari R. Butikan bahwa A B juga merupakan subring dari R.
2. Misalkan Z5 adalah suatu Ring.
a. Tentukan subring-subring yang dibangun oleh unsur-unsur dari Z5.
b. Apakah subring-subring tersebut merupakan suatu Ideal.
3. Misalkan P adalah suatu Ring dan S dan T adalah Ideal dari R. Buktikan bahwa S T juga merupakan Ideal dari R.
4. Misalkan unsur-unsur bilangan “genap” dan “ganjil” adalah membentuk suatu Ring.
a. Tentukan subring-subring yang dibangun oleh unsur-unsur dari bilangan “genap” dan “ganjil”.
b. Apakah subring-subring tersebut merupakan suatu Ideal.
5. Misalkan (Q( ), +, .) adalah subring dari Q. Tunjukkan bahwa Q( ) adalah suatu Ideal dari Q, didefinisikan Q( ) = .
6. Diketahui R adalah suatu Ring. K dan L adalah merupakan ideal kanan-ideal kanan dari R. Buktikan:
a. K L merupakan Ideal kanan dari R.
b. K + L merupakan Ideal Kanan dari R, dengan K + L =

BAB 9
RING FAKTOR DAN HOMORFISMA

Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sidat-sifat Ring Faktor dan Homorfisma Ring.

Kompetensi Khusus :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
a. Menentukan dan mendefinisikan apakah suatu Ring merupakan Ring Faktor
b. Menentukan dan mendefinisikan apakah suatu Ring merupakan Homomorfisma Ring
c. Memahami dengan sepenuhnya teorema dasar dari Isomorfisma

Deskripsi Singkat:
Sama halnya dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Grup, didalam Ring juga dikenal denga Ring Faktor dan Homomorfisma Ring. Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai Ring Faktor mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Ring yang mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Homomorfisma Grup

BAB 9
RING FAKTOR DAN HOMORFISMA RING

Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sidat-sifat Ring Faktor dan Homorfisma Ring.

Kompetensi Khusus :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
d. Menentukan dan mendefinisikan apakah suatu Ring merupakan Ring Faktor
e. Menentukan dan mendefinisikan apakah suatu Ring merupakan Homomorfisma Ring
f. Memahami dengan sepenuhnya teorema dasar dari Isomorfisma

Deskripsi Singkat:
Sama halnya dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Grup, didalam Ring juga dikenal denga Ring Faktor dan Homomorfisma Ring. Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai Ring Faktor mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Ring yang mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Homomorfisma Grup

9.1 RING FAKTOR
Pada bab 8, tela kita pelajari mengenai Ideal, yang mirip dengan subgroup Normal dalam Grup. Suatu Ring Faktor terdiri dari himpunan dari koset-koset ring tersebut yang diantaranya aadala Ideal-Ideal.
Definisi 9.1 :
Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R. R/S = {S + a a R} adalah Ring dengan (S + a) + (S+b) = S + (a+b) dan (S+a) . (S+b) = S + (a . b). Ring semacam ini dsebut Ring Faktor atau Ring Koisen.
Sekarang akan kita buktikan bahwa R/S = {S + a a R}membentk suatu Ring, yaitu dengan memperhatikan syarat-syarat suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan (+) dan terhadap perkalian (.) yang membentuk suatu Ring (R/K,+, . ). Adapun syarat-syarat suatu struktur aljabar yang mempunyai dua operasi biner membentuk suatu Ring adalah sebagai berikut:
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a , b R dan a + b R
Maka
Untuk setiap (S + a) , (S+b) R/S
Berlaku (S + a) + (S+b) = S + (a+b)
Yang berarti S + (a+b) R/S
Sehingga S + (a+b) R/S, tertutup terhadap penjumlahan di R/S
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a , b,c R
Maka (a + b) + c = a + (b + c)
Sehingga :
Untuk setiap (S + a) , (S+b), (S + c) R/S
[ (S + a) + (S+b) + (S + c) = (S + a) + [(S+b) + (S + c)]
[ S + (a+b)] + (S + c) = (S + a) + [(S+(b + c)]
S + [(a+b) + c] = S + [a +(b + c)]
S + [a + (b + c)] = S + [(a+b) + c)]
(S + a) + [S+ (b + c) = [S + (a+b)] + (S + c)
(S + a) + [(S+b) + (S + c)] = [(S + a) + (S+b) ]+ (S + c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a R
Maka a + e = e + a = a
Sehingga :
Untuk setiap (S + a) R/S
(S + 0) + (S + a) = S + ( 0 +a) = S + a
(S + a) + (S + 0) = S + ( a +0) = S + a
(S + 0) + (S + a) = (S + a)+ ( S + 0) = S + a
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a R
Maka a + (-a) = (-a) + a = e =0
Sehingga :
Untuk setiap (S + a) R/S
(S + a) + (S + (-a) = S + ( a + (-a) = S + 0 = S
(S + (-a)) + (S + a) = S + ((-a) +a) = S + 0 = S
(S + a) + (S + (-a)) = (S + (-a))+ ( S + a) = S + 0 = S
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a,b R
Maka a + b = b + a
Sehingga :
Untuk setiap (S + a), (S + b) R/S
(S + a) + (S + b) = (S + b) + (S + a)
S + (a + b) = S + (b + a)
S + (b + a) = S + (a + b)
(S + b) + (S + a) = (S + a)+ ( S + b)
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a , b R dan a . b R
Maka
Untuk setiap (S + a) , (S+b) R/S
Berlaku (S + a) . (S+b) = S + (a.b)
Yang berarti S + (a.b) R/S
Sehingga S + (a.b) R/S, tertutup terhadap penjumlahan di R/S
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a , b,c R
Maka (a . b) . c = a . (b . c)
Sehingga :
Untuk setiap (S + a) , (S+b), (S + c) R/S
[ (S + a) . (S+b) . (S + c) = (S + a) . [(S+b) . (S + c)]
[ S + (a.b)] . (S + c) = (S + a) .[(S+(b . c)]
S + [(a.b) . c] = S + [a .(b . c)]
S + [a . (b . c)] = S + [(a.b) . c)]
(S + a) . [S+ (b . c) = [S + (a.b)] . (S . c)
(S + a) . [(S+b) . (S + c)] = [(S + a) . (S+b) ]. (S + c)
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a R
Maka a . e = e . a = a
Sehingga :
Untuk setiap (S + a) R/S
(S + 1) . (S + a) = S + ( 1 . a) = S + a
(S + a) . (S + 1) = S + ( a . 1) = S + a
(S + 1) . (S + a) = (S + a). ( S + 1) = S + a
9. Distributif terhadap perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a,b,c R
Maka a . (b + c ) = ( a . b ) + (a . c) dan (a +b) . c = (a . c) + (b . c)
Sehingga :
Untuk setiap (S + a), (S+b), (S+c) R/S
(S + a) . [(S + b) + (S + c)] = [(S+a) . (S+b)] + [(S+a) . (S + c)]
(S + a) . [S + (b + c)] = [S+ (a . b)] + [S+ (a . c)]
S + [a . (b + c)] = S+ [(a . b)] + (a . c)]
S + [(a . b )+(a . c)] = S+ [a .( b+ c)]
[S + (a . b)] +[S+(a. c)] = (S+ a) . [S+ (b + c)]
[(S + a) . (S + b)]+ [(S + a) . (S + c)] = (S+ a) . [(S+b) + (S + c)]
Dan
[(S + a) . (S + b)] . (S + c) = [(S+ a) . (S+c)]+[(S+b).(S + c)]
[S + (a+ b)] . (S + c) = [S+(a.c)] + [S+(b . c)]
S + [(a + b) . c] = S + [ (a.c) + (b.c)]
S + [(a . c) + (b . c)] = S + [(a + b) . c ]
[S + (a . c )] + [S + (b . c)] = [S + (a + b)] . (S + c)
[(S +a) . (S+c)] + [(S+b).(S+c)] =[(S+a) + (S+b)] . (S+ c)

Dengan kata lain, misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R, maka R/S disebut Ring Faktor jika:
1. (R/S, +) merupakan suatu Grup Komutatif
2. (R/S, .) merupakan suatu Semigrup / Monoid.
3. (R/S,+, .) merupakan distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Contoh 9.1 :
Bila K = {0,2,4} adala suatu Ideal yang dibangu oleh 2 dalam Z6. tnjukkan Z6/K adala merupakan Ring Faktor.
Penyelesaian:
Ada dua koset/ Ideal dari Ring Z6 yaitu:
K = {0,2,4}
K + 1 = {1,3,5}
Sehingga Z6/K = {K,K+1}
Tabel 9.1.
Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0,2,4}, +) dan (Z6/K=Z6/{0,2,4},.)
+ K K + 1 . K K+1
K K K+1 K K K
K+1 K+1 K K+1 K K+1

Tabel 9.1. menunjukkan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K. Slanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahwa Z6/K dengan syarat-syarat suatu Ring meruakan faktor dari Z6/K. Adapun syarat-syaratnya sbagai berikut:
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K+1 Z6/K
Brlaku K + (K+1) = K + (0+1) = K+1
Sehingga K+1 Z6/K
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K+1 Z6/K
[K + (K +1)] + (K+1) = K + [(K+1) + (K+1)]
[K + (0+1)] + (K+1) = K + [K + (1+1)]
(K+1) + (K+1) = K + (K+0)
K+(1+1) = K + (0+0)
K = K
Sehingga [K + (K +1)] + (K+1)= K + [(K+1) + (K+1)] = K
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K+1 Z6/K
(K+0) + (K+1) = K + (0+1) = K+1
(K+1) + (K+0) = K + (1+0) = K +1
Sehingga (K+0) + (K+1) = (K+1) + (K+0) = K+1
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K+1 Z6/K
(K+1) + (K+(-1)) = K + (1+(-1)) = K+0 = K
(K+(-1)) + (K+1) = K + ((-1)+1) = K +0 = K
Sehingga (K+1) + (K+(-1)) = (K+(-1)) + (K+1) = K+0 = K
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)di Z6/K
K, K+1 Z6/K
K+ (K+1) = (K + 1) + K
K+(0 + 1) = K + (1+0)
K+1 = K + 1
Sehingga K+ (K+1) = (K+1) + K = K+1
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K
K, K+1 Z6/K
Berlaku K . (K+1) = K + (0+1) = K + 0 = K
Sehingga K Z6/K
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K
K, K+1 Z6/K
[K . (K+1) ] . (K+1) = K . [(K + 1) . (K+1)]
[K+(0 . 1)] . (K+1) = K . [K + (1 . 1)]
(K + 0) . (K+1) = K . (K+1)
K + (0 . 1) = K + (0 . 1)
K = K
Sehingga [K . (K+1)] . (K+1) = K . [(K + 1) . (K+1)] = K
8. Adanya unsur satuan atau idntitas terhadap perkalian ( .) di Z6/K
 K  Z6/K
(K+1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K
K . (K+1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K
9. Distributif perkalian ( .) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K+1 Z6/K
Misalkan a = K, b = K +1 dan c = K +1
a . ( b . c) = (a . b) + (a . c)
K . [ (K+1) + (K+1) = [K . (K+1)] + [K . (K+1)]
K . [K+ (1+1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]
K + [ 0 . (1 + 1)] = K + [(0 .1)+(0 . 1)]
K + (0 . 0) = K + (0+0)
K = K
Sehingga K . [ (K+1) + (K+1)= [K . (K+1)] + [K . (K+1)]=K
Jadi, Z6/K = {K, K+1} adalah merupakan suatu Ring Faktor.
Sebenarnya dari tabel juga kita telah bisa mengetahui bahwa Z6/K adalah merupakan Ring faktor, karena hasil dari penjumlahan dan perkalian unsur-unsur Z6/K menghasilkan unsur-unsur itu sendiri. Jadi bila K adalah suatu Ideal dan R adalah Ring, maka kita dapat menentukan Ring Faktor dari R/K dengan membuat tabel daftar Cayley terhadap penjumlahan dan perkalian unsur-unsur dari R/K, yang disebut tabel Ring faktor dari R/K.

9.2 HOMOMORFISMA RING

Pada bab 5 telah kita pelajari mengenai homorfisma grup yaitu suatu pemetaan dari grup G ke grup G yang mengawetkan operasi yang ada pada grup tersebut.
Sama halnya dengan grup, pada ring juga ada pemetaan dari ring R kering R yang mengawetkan kedua operasi yang ada dalam Ring tersebut yang disebut dengan homomorfisma ring.

Definisi 9.2
Suatu pemetaan f dari ring (R, +, .) ke ring (R ) disebut suatu homomorfisma Ring bila a, b R berlaku :
1. f( a + b ) = f(a) f(b)
2. f(a . b) = f(a) f(b)
Dalam suatu ring telah kita ketahui operasi biner yang ada pada umumnya adalah operasi penjumlahan dan operasi perkalian, sehingga biar tidak menimbulkan keraguan maka definisi tersebut dapat kita tulis sebagai berikut:
Definisi 9.3
Suatu pemetaan f dari ring (R, +, .) ke ring (R ) disebut suatu homomorfisma Ring bila a, b R berlaku :
1. f( a + b ) = f(a) +f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)
ada beberapa definisi khusus mengenai homomorfisma ring adalah sebagai berikut:

Definisi 9.4
a. suatu homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 – 1) disebut dengan homomorfisma ring.
b. Suatu homomorfisma ring yang bersifat surjektif (pada) disebut dengan epimorfisme ring.
c. Suatu homomorfisme yang berssifat bijektif, yaitu bersifat injektif (1 – 1) dan subjektif (pada) disebut dengan isomorfisma Ring.

Definisi 9.5
Suatu homomorfisma dari suatu ring ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma ring.
Contoh 9.2
Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu homomorfisma Ring.
Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku :
1. f( a + b ) = f(a) +f(b)
2.. f(a . b) = f(a) . f(b)
Sehingga :
1. f( a + b ) = f(a) +f(b), a, b R
. ( a + b ) = (a) +(b)
a + b = a + b
2.. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R
(a . b) = (a) . (b)
a . b = a . b
karena untuk f( a + b ) = f(a) +f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) maka f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu homomorfisma Ring.

Contoh 9.3
Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = 2a adalah suatu homomorfisma Ring.
Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku :
1. f( a + b ) = f(a) +f(b)
2.. f(a . b) = f(a) . f(b)
Sehingga :
1. f( a + b ) = f(a) +f(b), a, b R
2( a + b ) = 2a + 2b
2( a + b) = 2(a + b)
a + b = a + b
2.. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R
2ab= 2a. 2b
2ab ≠ 4ab
karena untuk f(a . b) ≠ f(a) . f(b) maka f : Z R dengan f(a) = 2a bukan merupakan homomorfisma Ring.

Teorema 9.1 :
Misalkan R suatu ring dan R juga merupakan suatu ring. Bila pemetaan f : Z R
Adalah suatu homomorfisma Ring, maka :
1. f(0) = 0 dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0 merupakan unsur nol di R
ambil sembarang nilai a R
0 merupakan unsur nol di R, yang berarti a + 0 = 0 + a = a
Sehingga :
f( a + 0 ) = f(a) +f(0)
dan f( 0 + b ) = f(0) +f(b)
maka : f(a) = f(a) + f(0) = f(0) + f(a)
ini berarti bahwa f(0) merupakan unsur nol di R . karena unsur nol di R adalah 0 maka dengan sifat ketunggalan unsur nol didapat f(0) = 0 .

2. f(-a) = -f(a), a R
ambil sebarang nilai a R
karena ada a R, maka ada -a R
yang berarti a + (-a) = (-a) + a = 0
sehingga :
f(0) = f(b +(-a)) = f(a) + f(-a)
dan f(0) = f((-a) + a) = f(-a) + f(a)
maka f(0) = f(a) + f(-a) = f(-a) + f(a)
dari pembuktian f(0) = 0 didapat :
f(a) + f(-a) = f(-a) + f(a) = f(0) = 0
dengan sifat keuntungan dari unsur balikan atau invers, maka f(-a) = -f(a).

Definisi 9.6
kernel (inti) dari suatu homomorfisma ring f adalah {a R | f(a) = 0 }, bisa ditulis k = {a R | f(a) = 0}
pada sub pokok bahasan berikut akan dibicarakan mengenai teorema yang cukup penting dalam homomorfisma Ring, yaitu teorema dasar isomorfisma.

9.3. Teorema dasar isomorfisma
Misalkan terdapat dua Ring R dan R . Ring R dan R dikatakan isomorfik jika terdapat suatu isomorfisma dari R dan R atau sebaliknya terdapat suatu isomorfisma dari R dan R. terdapat tiga teorema dasar mengenai isomorfisma Ring yang akan dijelaskan dalam sub pokok bahasan ini.
Teorema berikut disebut sebagai teorema pertama untuk isomorfisma Ring.

Teorema 2. (teorema pertama isomorfisma)
Misalkan R dan R adalah suatu ring. Bila adalah suatu homomorfisma dari R pada R dengan kernel k, maka R = R/K.
Bukti :
Misalkan : R/K R, maka (K + a) = (a)
a. akan ditunjukan bahwa merupakan suatu pemetaan
misalkan K + a = K + b, dimakan K + a , K + b R/K.
maka (K + a) = (a) dan (K + b) = (b)
jika adalh homomorfisma maka (a – b) = (a) – (b)
K + a = K + b, berarti juga a – b K
Sehingga :
(a – b) = 0
(a) – (b) = 0
(a) = (b)
(K + a) = (K + b)
Jadi merupakan suatu pemetaan

b. Akan ditunujukan bahwa merupakan suatu homomorfisma
[(K + a) + (K + b) ] = (K + (a + b ))
= (a + b)
= (a) + (b)
= (K + a) + ( (K + b)
Dan
[(K . a) . (K . b) ] = (K + (a . b ))
= (a . b)
= (a) . (b)
= (K + a) . ( (K + b)
Jadi merupakan suatu homomorfisma

c. Akan ditujukan bahwa bersifat injektif (1 – 1)
Misalkaan (a) = (b) K + a = K + b
(a) = (b)
(a) + (b) = 0
(a + b) = 0
Itu berarti a – b K, sehingga K + a = K + b
Jadi bersifat injektif (1 – 1)
d. Akan ditujukan bahwa bersifat surjektif (pada)
Misalkan b R , berarti b = (b) untuk suatu a R
Diketahui a R dan f : R/K R, berarti a di petakan K + a R/K
Kita pilih c = K + a R/K, sehingga
(c) = (K + a) = (a) = b R
Jadi bersifat surjektif (pada)
Terbukti terdapat isomorfisma dari R/K ke R
R R/K atau R/K R
Terorema berikut ini dusebut sebagai teorema kedua dari isomorfisma Ring.

Terorema 9.3 ( teorema kedua isomorfisma )
Misalkan R dn R adalah suatu Ring dan adalah homomorfisma dari R pada R dengan kernel K. bila S adalah suatu ideal dari R dan S adalah suatu ideal dari R, dan S adalah suatu ideal dari R, maka R/S R / S untuk S = {a R | (a) S}. secara ekuivalen, bila k suatu ideal dari R dan K S adalah suatu ideal dari R, maka R/S (R/K)/(S/K).
Bukti :
Misalkan : a (a) + S atau (a) R / S , mendefinisikan pemetaan : a R / S
a. Akan ditujukan bahwa merupakan suatu homomorfisma
Misalkan a, b R
Sehingga diperoleh (a) = (a) + S dan (b) = (b) + S
(a + b) = (a + b) + S
= ( (a) +( (b) + S
= ( (a) S ) + ( (b) + S )
= (a) + (b)
Dan
(a . b) = (a . b) + S
= ( (a) .( (b) + S
= ( (a) S ) . ( (b) + S )
= (a) . (b)
Jadi a, b R berlaku (a + b) = (a) + (b) dan (a . b) = (a) . (b), yang berarti merupakan suatu homomorfisma

b. Akan ditujukan bahwa bersifat surjektif (pada)
Ambil x R / S
Misalkan x = a + S R
Jika pemetaan pada, berarti a R sehingga (a) = a
Maka diperoleh x = (a) + S
Pilih a (a) sehingga (a) = (a) + S = x
Jadi x R / S , a R sehingga (a) = x

c. Akan ditunjukann bahwa S = K
Ambil a ker( ) R
Diperoleh (a) = S , padahal (a) = (a) + S
Jadi (a) + S = S
karena S grup bagian aditif dari R diperoleh (a) = S
berdasarkan definisi ideal, diperoleh a S
jadi a ker( ) a S
dengan kata lain , ker( ) S
ambil a S ,berarti a R dan (a) S
diperoleh (a) = (a) + S , sebab (a) S
sehingga a K, yang berarti S K
dari dapat disimpulakan bahwa S = K
diperoleh : a R / S homomorfisma surjektif (pada) dengan kernel K = S.
berdasarkan teorema kedua isomorfisma, diperoleh R/S R / S .
padahal R S/K
sehingga terbukti terdapat isomorfisma dari R / S .ke R/S
R / S R/S (R/K)(S/K).

9.4 Rangkuman
1. misalakan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu ideal dari R. R/S = {S + a | a R } adalah suatu ring factor atau ring kosisen dengan:
(S + a ) + (S + b) = S + (a + b )
Dan (S + a ) + (S + b) = S + (a + b )

2. Suatu pemetaan f dari ring (R, +, .) ke ring (R ) disebut suatu homomorfisma Ring bila a, b R berlaku :
f( a + b ) = f(a) +f(b)
f(a . b) = f(a) . f(b)

3 Suatu homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 – 1) disebut dengan homomorfisma ring.Suatu homomorfisma ring yang bersifat surjektif (pada) disebut dengan epimorfisme ring.Suatu homomorfisme yang berssifat bijektif, yaitu bersifat injektif (1 – 1) dan subjektif (pada) disebut dengan isomorfisma Ring.

4 Suatu homomorfisma dari suatu ring ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma.

4. Misalkan R suatu ring dan R juga merupakan suatu ring. Bila pemetaan f : Z R Adalah suatu homomorfisma Ring, maka :
• f(0) = 0 dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0 merupakan unsur nol di R
• f(-a) = -f(a), a R

6. Misalkan R dan R adalah suatu ring. Bila adalah suatu homomorfisma dari R pada R dengan kernel k, maka R = R/K.
7. R dn R adalah suatu Ring dan adalah homomorfisma dari R pada R dengan kernel K. bila S adalah suatu ideal dari R dan S adalah suatu ideal dari R, dan S adalah suatu ideal dari R, maka R/S R / S untuk S = {a R | (a) S.
8 Misalkan R dn R adalah suatu Ring dan adalah homomorfisma dari R pada R dengan kernel K. bila S adalah suatu ideal dari R dan S adalah suatu ideal dari R, dan S adalah suatu ideal dari R, maka R/S R / S untuk S = {a R | (a) S}. secara ekuivalen, bila k suatu ideal dari R dan K S adalah suatu ideal dari R, maka R/S (R/K)/(S/K).

9.5 Soal – soal latihan

1) Misalkan K adalah ideal – ideal yang digabungkan oleh Z4. carilah ideal-ideal yang digabungkan tersebut dan tunujkan Z4/K adalah merupakan ring factor.

2) Carilah K yang merupakan suatu ideal yang dibagun oleh 2 dalam Z8. tunujukan Z8/K adalah merupakan Ring faktor.

3) Berikut ini diberikan pemetaan-pemetaan, yang nama dari pemetaan –pemetaan tersebut merupakan homomorfisma
• F : Z Z, dengan f(a) = 4a
• F : Z Z, dengan f(a) = a3
• F : Z6 Z3, dengan f(a) = a + 1
• F : Z R, dengan f(a) = 2a

4) Tunujukan apakah Z2 X Z3 merupakan isomorfisma dengan Z6, sehingga
Z2 X Z3 = Z6,
5) Tunjukan bila R, R dan R adalah merupakan suatu ring-ring dan bila g : R R dan f : R R adalah merupakan suatu homomorfisma-homomrfisma, maka pemetaan komposisi f g : R R adalah juga merupakan Homomorfisma.

BAB 10
RING KHUSUS

Kompetensi Umum:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat serta karakteristik Ring.

Kompetensi khusus:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
f. Mendefinisikan dan memahami sifat-sifat dari Daerah Euclid
g. Mendefinisikan dan memahami sifat-sifat dari Daerah Ideal Utama
h. Mendefinisikan dan memahami sifat-sifat dari Daerah Faktorisasi Tunggal

Deskripsi singkat:
Daerah Euclid, Daerah Ideal Utama dan Daerah Faktorisasi Tunggal merupakan ring-ring khusus. Dalam bab ini akan dibahas mengenai definisi dan teorema serta sifat-sifat Daerah Euclid, Daerah Ideal Utama dan Daerah Faktorisasi Tunggal.

10.1. Daerah Euclid
Definisi 10.1 :
Suatu Integral Domain R dikatakan sebagai Daerah Euclid jika untuk setiap a 0 di R ada bilangan tak negative, d(a) = , yang memenuhi pemetaan:
1. a, b R dan a, b 0 berlaku d(a) d(ab)
2. a, b R dan a, b 0 , ada q, r R sehingga a = qb + r dengan r = 0 atau d(r)< d(b)

Contoh 10.1 :
Ring bilangan bulat Z adalah merupakan Daerah Euclid.
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa Ring (Z,+,.) adalah Daerah Euclid, harus ditunjukkan terlebih dahulu bahwa Ring (Z,+,.) merupakan integral Domain, setelah itu harus ditunjukkan pemetaannya dengan d(a) = memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1. a, b Z dan a, b 0 berlaku d(a) d(ab)
2. a, b Z dan a, b 0 , ada q, r Z sehingga a = qb + r dengan r = 0 atau d(r)< d(b)

Contoh 10.2 :
Tunjukkan bahwa bilangan bulat Gauss (Gauussian Integer), yaitu Z [i] = {a+bi Z} adalah Daerah Euclid dengan d (a+bi) = a2 + b2.
Penyelesaian :
Untuk menunjukkan bahwa (Z[i],+,.) adalah merupakan Daerah Euclid, akan ditunjukkan bahwa (Z[i],+,.) memenuhi syarat-syarat berikut ini:
a. Z[i] = {a+bi Z}adalah merupakan integral Domain.
• (Z[i],+) merupakan suatu Grup Komutatif
Tertutup terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a = a1 +a2i dan b = b1 + b2i, a dan b Z[i]
Maka a dan b tertutup bila
a+b = (a1 + b2i) +( b1 + b2i)
= (a1 + b1) + (a2 + b2)i Z[i]
Assosiatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a = a1 +a2i dan b = b1 + b2i, a dan c = c1 + c2i sehingga a,b,c assosiatif bila
a+b+c = [(a1 + b2i) +( b1 + b2i)] + (c1 + c2i)
= [(a1 + b1) + (a2 + b2)i ] + (c1 + c2i)
= [(a1 + b1) + c1]+[(a2 + b2) ] + c2]i
= [a1 + (b1 + c1 )]+[a2 (b2+ c2 )]i
= (a1 + a2i) +[(b1 + c1 )+ (b2+ c2 )]i
= (a1 + a2i) +[(b1 + b2i )+ (c1+ c2 i)]
= a + (b+c)
Sehingga
(a+b) + c = a + (b+c)
Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a = a1 +a2i dan a Z[i]
Terdapat e = 0 Z[i]
Maka
a + e = (a1 + a2i) +0 = a1 + a2i = a
e + a = 0 + (a1 + a2i) = a1 + a2i = a
sehingga
a + e = e + a = a
Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a = a1 +a2i dan a Z[i]
Maka
a + (-a) = (a1 + a2i) +[-( a1 + a2i)]
= (a1 + a2i) -( a1 + a2i)
= (a1 – a1) + (a2 – a2i)
= 0 = e
(-a) + a = -( a1 + a2i) + (a1 + a2i)
= (- a1 + a2i) + (a1 + a2i)
= (-a1 + a1) + (-a2 + a2) i
= 0 = e
Sehingga
a + (-a) = (-a) + a = e = 0
Komutatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a = a1 +a2i dan b = b1 + b2i ,a dan b Z[i]
a + b = (a1 + b2i) +( b1 + b2i)
= (a1 + b1) + (a2 + b2)i
= ( b1+ a1) + (b2 + a2 )i
= ( b1 + b2i) + (a1 + b1)
= b + a
Sehingga
a + b = b + a
• (Z[i],.) merupakan suatu Semigrup/ Monoid Komutatif
Tertutup terhadap perkalian (.)
Misalkan a = a1 +a2i dan b = b1 + b2i, a dan b Z[i]
Maka a dan b tertutup bila
a+b = (a1 + b2i) .( b1 + b2i)
= (a1 + b1) . (a2 + b2)i Z[i]
Assosiatif terhadap perkalian (.)
Misalkan a = a1 +a2i dan b = b1 + b2i, a dan c = c1 + c2i sehingga a ,b dan c Z[i]
Maka a,b,c assosiatif bila
a.b.c = [(a1 + b2i) .( b1 + b2i)] . (c1 + c2i)
= (a1 + a2i) .[(b1 + b2i ). (c1+ c2 i)]
= a . (b.c)
Sehingga
(a.b) . c = a . (b.c)
Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.)
Misalkan a = a1 +a2i dan a Z[i]
Terdapat e = 1 Z[i]
Maka
a . e = (a1 + a2i) .1 = a1 + a2i = a
e . a = 1 + (a1 + a2i) = a1 + a2i = a
sehingga
a . e = e . a = a
Komutatif terhadap perkalian (.)
Misalkan a = a1 +a2i dan b = b1 + b2i ,a dan b Z[i]
Maka a dan b komutatif bila
a + b = (a1 + b2i) +( b1 + b2i)
= (a1 . b1) + (a2i . b1 )+(a1 . b2i ) + (a2 . b2) i
= ( b1. a1) + (b1 . a2 I )+( b2i . a1) + (b2 . a2) i
= ( b1 + b2i) + (a1 + a2 i)
= b + a
Sehingga
a + b = b + a
• Distrubutif perkalian terhadap penjumlahan
Misalkan a = a1 +a2i dan b = b1 + b2i, dan c = c1 + c2i
Sehingga a,b,c Z[i]
• Tidak ada pembagi nol
Misalkan a = a1 +a2i dan b = b1 + b2i, a,b Z[i]
Akan ditunjukkan a . b = 0, maka a = 0 atau b = 0
ab = (a1b1 – a2b2) + ( a1b2 + a2b1)i= 0
Andaikan a =a1 +a2i 0 berarti a1 0 dan a2 0
Diperoleh :
(a1b1 – a2b2) = 0 dan ( a1b2 + a2b1)i= 0
(a1b1 – a2b2)2 + ( a1b2 + a2b1)2= 0
(a12 + a22 ) . ( b12 + b22 )= 0
Karena a1 0 maka a12 0, sehingga a12 + a22 0
Diperoleh :
b12 + b22 = 0
b12 = -( b2 )2
b12 = b2 2
b1 = b2
jadi bahwa Z[i] adalah integral Domain
b. Pemetaan Z[i] = {a + bi a,b Z} dengan d (a + bi) = a2 + b2 memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:
1. s,t Z[i] dan s,t 0 berlaku d(s) d(st)
Misalkan s = a1 + b1i dan t = a2 + b2i
t 0 berarti a2 0 atau b2 0
sehingga
a22 + b22 0 berarti a22 + b22 1
selanjutnya st = (a1a2 – b1b2 ) + (a1b2 – a2b1 )i
d(s) = d(a1 + b1 i) = a12 + b12
d(st) =

Pada bab 2 telah dibahas mengenai Algoritma Pembagian Bilangan Bulat. Algoritma pembagian memberikan jalan untuk mengeneralisasikan konsep pembagi-pembagi dan konsep factor persekutuan terbesar untuk suatu Daerah Euclid. Bila a, b dan q adalah tiga elemen dari suatu Integral Domain sedemikian hingga a = qb, maka kita sebut bahwa b membagi a atau b adalah factor dari a ditulis b a.
Sebagai contoh, misalkan (2 + i ) (9 + i ) dalam bilangan bulat Gauss Z [i], sehingga 9 + I = (4 + i) . (2 + i).
Factor Persekutuan Terbesar (FPB) dalam Daerah Euclid dapat dihitung dengan menggunakan Algoritma Euclid, yaitu sebagai berikut:
Definisi 10.2 : (Algoritma Euclid)
Misalkan R adalah Daerah Euclid dan a,b R dan b 0. pengulangan algoritma pembagian dapat ditulis:
a = bq1 + r1 dengan d(r1) < d(b)
b = r1q2 + r2 dengan d(r2) < d(r1)
r1 = r2q3 + r3 dengan d(r3) < d(r2)
…. ………….. ……… …………….
rk-1 = rkqk+1 + rk+1 dengan d(rk-1) < d(rk)
rk = rk+1qk+2 + rk+2 dengan d(rk+2) < d(rk+1)
bila rk+2 = 0 maka pembagian sekutu terbesar a,b adalah rk+1
FPB(a,b) = rk+1
Bila r1 = 0 maka pembagian sekutu terbesar a,b adalah b
FPB(a,b) = b

Contoh 10.3 :
Carilah factor persekutuan terbesar (FPB) dari 37 dan 20 dan carilah bilangan bulat s dan t sedemikian hingga 37s + 20t = FPB (37,20).
Penyelesaian :
Menurut algoritma pembagian kita peroleh:
Diketahui a = 37 dan b = 11
1. 37 = 3.11 + 4 dengan r1 =4
2. 11 = 2.4 + 3 dengan r2 = 3
3. 4 = 1.3 +1 dengan r3 = 1
4. 3 = 3.1 + 0 dengan r4 = 0
Sisa terakhir yang nol menunjukkan bahwa FPB (37,20) = 1
Selanjutnya akan kita cari bilangan bulat s dan t.
Diketahui 37s + 11t = 1
Dari algoritma pembagian tersebut kita dapat mencari nilai s dan t sebagai berikut:
37s + 11t = FPB (37,11) = 1
1 = 4 – 1.3
= 4 – 1 ( 11 – 2.4)
= 3 .4 – 11
= 3(37 – 3.11) – 11
= 3.37 – 9.11 – 11
= 3.37 – 10.11
Jadi nilai s = 3 dan t = 10

10.2. Daerah Ideal Utama
Pada bab terdahulu telah dipelajari mengenai Ideal yang dibangun oleh suatu Ring. Misalkan R adalah suatu ring dan a R maka [a] adalah suatu Ideal R (disebut Ideal yang dibangun oleh a), [a] disebut sebagai Ideal Utama, yang dijelaskan dalam definisi berikut ini:

Definisi 10.3 :
Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif dan S adalah suatu Ideal di R. S disebut sebagai Ideal Utama bila S = [a] untuk setiap a R, dimana [a] merupakan Ideal yang dibangun oleh a, [a] = {xa x R}

Definisi 10.4 :
Misalkan R adalah suatu Ring, R disebut sebagai Ideal Utama (Principal Ideal Domain) bila:
1. R merupakan Suatu Integral Domain.
2. Untuk setiap S yang merupakan Ideal di R, maka S adalah suatu Ideal Utama.

Contoh 10.4:
Misalkan Z4 = { 0,1,2,3} merupakan suatu Ring, tunjukkan bahwa Subring S = {0,2} adalah suatu Ideal. Tunjukkan bahwa S adalah suatu Daerah Ideal Utama.
Penyelesaian:
Kita harus tunjukkan bahwa unsur-unsur dari z4 yaitu 0,1,2,3 membentuk suatu Ideal, yaitu:
[0] = {0}
[1] = {0,2,3,4}
[2] = { 2,0 }
[3] = {3,2,1,0}
Dari unsur z4 diketahui bahwa [2] merupakan suatu subring yang merupakan Ideal dari z4, sehingga [2] = {0,2}.
S = {0,2} merupakan suatu Ideal di z4 sehingga S = [2] = {o,2}.
Jadi S adalah merupakan Ideal Utama di z4 dengan S = [2] = {0,2}

10.3 Daerah Faktorisasi Tunggal
Himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan dan perkalian baku membentuk suatu Ring yang juga merupakan suatu Integral Domain. Pada Z ini setiap unsurnya dapat difaktorkan secara tunggal ke dalam perkalian-perkalian bilangan prima. Pada sub pokok bahasan ini akan dibicarakan tentang Ring secara khusus yang merupakan Integral Domain dengan sifat setiap unsurnya selalu dapat dinyatakan sebagai perkalian unsur-unsur prima pada Ring tersebut dan pemfaktorkan tersebut tunggal sehingga Ring ini dinamakan Daerah Faktorisasi Tunggal.

Definisi 10.5 :
Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. Unsur a R dikatak “unit” di R bila terdapat unsur b R sehingga ab = 1.

Contoh 10.5 :
Pada beberapa Ring Komutatif sering kita temui “unit”, yaitu:
• Pada himpunan bilangan {-1,1} yang unsur-unsurnya adalah 1 dan -1 menghasilkan 1.1 = 1 dan (-1) . (-1) = 1 , sehingga unit-unitnya adalah 1 dan -1
• Pada himpunan bilangan real R yang unit-unitnya adalah sebarang unsur R yang tidak nol. Misalkan 3 R, maka terdapat R sehingga 3 . = 1.
• Pada Z7 unit-unitnya adalah semua anggota Z7 kecuali 0 yaitu 1,2,3,4,5, dan 6, sehingga 1.1 = 1,2.2 = 1, 3.5 = 1, 4.4 = 1,5.3 = 1 dan 6.6 = 1
• Pada Z4 unit-unitnya adalah 1 dan 3 sehingga 1.1 = 1 dan 3.3 =1

Definisi 10.6 :
Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif dan r,s R. Unsur r dikatakan “sekawan” dengan unsur s jika r = as untuk suatu a “unit” di R.

Contoh 10.6 :
Pada beberapa Ring Komutatif sering kita temui “sekawan”, yaitu sebagai berikut:
• Pada himpunan bilangan {-1,1} unit-unitnya adalah 1 dan -1, sehingga sekawan dari -1 adalah 1 dan -1 = 1. (-1) dan 1 =(-1) . 1
• Pada himpunan bilangan real R yang unit-unitnya adalah sebarang unsur R yang tidak nol. Maka sekawan dari 2 adalah semua bilanagn real R kecuali 0, sehingga 2 = a untuk setiap R yang tidak nol.
• Pada Z7 unit-unitnya adalah semua anggota Z7 kecuali 0 yaitu 1,2,3,4,5,dan 6. maka sekawan dari 2 adalah semua anggota Z7 kecuali 0, sehingga 2 = 1.2,2 = 3.3,2 = 4.4,2 =5.6 dan 2 = 6.5.
• Pada Z4 unit-unitnya adalah 1 dan 3. Maka sekawan dari 2 adalah 1 dan 3, sehingga 2 = 1.2, 2 = 3.2

Definisi 10.7 :
Misalkan R adalah suatu Integral Domain. R disebut sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal jika untuk setiap a R, a 0 dan a unit, a dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah unsure-unsur tak tereduksi di R dan faktorisasi tersebut adalah tunggal. Tunggal yang dimaksud dalam hal ini adalah jika terdapat s1s2…sm dan t1t2 …tn adalah faktorisasi yang sama dari suatu unsure dari R maka m = n dan qj dapat disusun kembali sehingga si dan tj sekawan.

Teorema 10.1 :
Bila R adalah suatu Daerah Faktorisasi Tunggal dan a,b R, dengan a 0 dan b 0. Jika p adalah suatu unsure prima R sedemikian hingga p ab, maka p a atau p b.
Bukti:
Misalkan R adalah suatu Daerah Faktorisasi Tunggal dan a,b R, dengan a 0 dan b 0. dan p adalah suatu unsur prima R sedemikian hingga p ab, akan ditunjukkan p a atau p b.
Diketahui a R, dan R Daerah Faktorisasi Tunggal, yang berarti dapat dimisalkan a = p1p2 ….pr dan b = q1q2 …qj dengan pi dan qj adalah unsur-unsur prima dari R.
Sehingga diperoleh:
ab = (p1p2…pr) ( q1q2…qt)
Karena p ab dan pi dan qj masing-masing adalah unsur prima dari R, maka p adalah salah satu diantara p1p2 ….pr dan b = q1q2 …qj , sehingga p a atau p b.
Contoh 10.7 :
Tunjukkan Faktorisasi Tunggal pada Z4
Penyelesaian:
Z4 = {0,1,2,3} unit-unitnya adalah 1 dan 3
Misalkan a = 2 dimana a 0 dan a unit.
Maka a dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah hingga unsur-unsur tak tereduksi di Z4 dan faktorisasi tersebut adalah tunggal.
2 = 1.2.3 dan 2 = 3.2.1, sehingga faktorisasi yang sama dari 2 adalah sekawan.
Jadi 2 adalah merupakan Daerah Faktorisasi Tunggal dari Z4

10.4 Rangkuman.
1. Suatu Integral Domain R dikatakan sebagai Daerah Euclid jika untuk setiap a 0 di R ada bilangan tak negative, d(a) = , yang memenuhi pemetaan :
• a, b R dan a, b 0 berlaku d(a) d(ab)
• a, b R dan a, b 0 , ada q, r R sehingga a = qb + r dengan r = 0 atau d(r)< d(b)

2. Misalkan R adalah Daerah Euclid dan a,b R dan b 0. pengulangan algoritma pembagian dapat ditulis:
a = bq1 + r1 dengan d(r1) < d(b)
b = r1q2 + r2 dengan d(r2) < d(r1)
r1 = r2q3 + r3 dengan d(r3) < d(r2)
…. ………….. ……… …………….
rk-1 = rkqk+1 + rk+1 dengan d(rk-1) < d(rk)
rk = rk+1qk+2 + rk+2 dengan d(rk+2) < d(rk+1)
bila rk+2 = 0 maka pembagian sekutu terbesar a,b adalah rk+1
FPB(a,b) = rk+1
Bila r1 = 0 maka pembagian sekutu terbesar a,b adalah b
FPB(a,b) = b

3. Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif dan S adalah suatu Ideal di R. S disebut sebagai Ideal Utama bila S = untuk suatu a R, dimana merupakan Ideal yang dibangun oleh a, = {xa x R}
4. Misalkan R adalah suatu Ring, R disebut sebagai Ideal Utama ( Principal Ideal Domain) bila :
a. R merupakan Suatu Integral Domain.
b. Untuk setiap S yang merupakan Ideal di R, maka S adalah suatu Ideal Utama.
5. Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. Unsur a R dikatakan “unit” di R bila terdapat unsure b R sehingga ab = 1. Misalkan r,s R, unsur r dikatakan “sekawan” dengan unsur s jika r = as untuk suatu a “unit” di R.
6. Misalkan R adalah suatu Integral Domain. R disebut sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal jika untuk setiap a R, a 0 dan a unit, a dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah hingga unsure-unsur tak tereduksi di R dan faktorissai tunggal. Tunggal yang dimaksud dalam hal ini adalah jika terdapat s1s2…sm dan t1t2 …tn adalah faktorisasi yang sama dari suatu unsure dari R maka m = n dan qj dapat disusun kembali sehingga pi dan pj sekawan.

10.5 Soal-soal Latihan
1. Periksa apakah ring-ring berikut merupakan Daerah Euclid :
• (Z2,+, .)
• (Z3,+, .)
• (Z4, +, .)
• (Z5, +, .)
• (Z6, +, .)
2. Perikas apakah ring-ring berikut merupakan Daerah Ideal Utama:
• Z2,+, .)
• (Z3,+, .)
• (Z4, +, .)
• (Z5, +, .)
• (Z6, +, .)
3. Perikas apakah ring-ring berikut merupakan Daerah Faktorisasi Tunggal:
• Z2,+, .)
• (Z3,+, .)
• (Z4, +, .)
• (Z5, +, .)
• (Z6, +, .)
4. Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif, a dan b adalah unit-unit di R. periksa apakah:
• ab adalah unit di R
• a + b adalah unit di R
5. Misalkan R adalah Daerah Euclid. Buktikan jika a “unit” di R maka d(1) = d(a)

BAB 11
RING POLINOM
Kompetensi Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom.

Kompetensi Khusus:
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:
a. Memahami definisi dari Ring Polinom.
b. Memahami algoritma pembagian dari Ring polinom
c. Menentukan hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dari Ring Polinom
d. Menentukan unsur-unsur tereduksi dan tidak tereduksi dari Ring Polinom

Deskripsi Singkat:
Ring Polinom merupakan gabungan dari dua atau lebih Ring. Bab ini akan membahas mengenai sifat-sifat dari ring Polinom, algoritma pembagian dan unsur tereduksi dan tidak tereduksi dari Ring Polinom.

11.1 Ring Polinom
Salah satu kegunaan yang terpenting dari teori Ring dan Field adalah perluasan dari suatu Field yang lebih besar atau lebih luas sehingga suatu polinom (suku banyak) yang diketahui mempunyai akar. Sebagai contoh Field bilangan kompleks dapat diperoleh dengan memperluas Field bilangan real sehingga semua persamaan kuadrat akan mempunyai solusi.
Pada sub pokok bahasan ini, akan dibahas mengenai struktur dari Ring Polinom yang merupakan gabungan dari ring-ring (suku banyak-suku banyak). Berikut ini akan merupakan definisi dari Ring Polinom, yaitu sebagai berikut:
Definisi 11.1:
Bentuk umum dari suatu polinom (suku banyak) adalah p(x) = a0+a1x1+a2x2+…+anxn = ixi dimana ai adalah koefisien dari p(x). Bila xn  0 maka derajat dari p(x) adalah n dan bila n = 0 maka derajat p(x) adalah nol.

Contoh 11.1:
P(x) = 3×6 + x4 – 2x + 1, adalah polinom yang mempunyai derajat 6.

Berikut merupakan definisi dari kesamaan dua buah polinom, yaitu:

Definisi 11.2:
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0+a1x1+a2x2+…+anxn dan q(x) = b0+b1x1+b2x2+…+bmxm dikatakan sama jika dan hanya jika ai = bi untuk semua i  0.

Contoh 11.2:
3×6 + x4 – 2x + 1  3×6 + 2×4 – 2x + 1 karena derajat koefisien yang tidak sama, yaitu koefisien x4 di ruas kiri tidak sama dengan x4 di ruas kanan. Sedangkan 3×6 + x4 – 2x + 1 = 3×6 + x4 – 2x + 1 karena untuk masing-masing suku yang berkesesuaian mempunyai koefisien yang sama.

Untuk perkalian dan penjumlahan dua buah polinom didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 11.3:
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0+a1x1+a2x2+…+anxn dan q(x) = b0+b1x1+b2x2+…+bmxm , p(x) + q(x) = c0+c1x1+c2x2+…+ckxk dimana k = maks {n,m} untuk setiap i, ci = ai + bi, untuk 0  i  k.

Contoh 11.3:
Misalkan p(x) dan q(x) dengan p(x) = 2×2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka:
p(x) + q(x) = (2×2 + 2) + (2x + 2)
= 2×2 + 2x + 4
Definisi 11.4:
Misalkan dua buah polinom p(x) = a0+a1x1+a2x2+…+anxn dan q(x) = b0+b1x1+b2x2+…+bmxm , p(x) . q(x) = c0+c1x1+c2x2+…+ckxk dimana k = n + m untuk setiap i, ci = ai b0+ai-1b1+ …+a1bi-1 + a0bi

Contoh 11.4:
Misalkan p(x) dan q(x) dengan p(x) = 2×2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka:
p(x) . q(x) = (2×2 + 2) . (2x + 2)
= 2×2 + 2x + 4

Dari definisi dan sifat-sifat polinom-polinom berikut merupakan definisi dari Ring Polinom.

Definisi 11.5:
Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. R[x] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R[x] = {p(x), q(x), r(x), …} untuk p(x)= ixi, q(x)= ixi,… dan ai  R

Contoh11.5:
Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada Z3[x], dengan p(x) = 2×2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka:
p(x) + q(x) = (2×2 + 2) + (2x + 2)
= 2×2 + 2x + (2+2)
= 2×2 + 2x + 1
Contoh 11.6:
Misalkan p(x) dan q(x) adalah polinom-polinom pada Z3[x], degan p(x) = 2×2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, maka:
p(x) . q(x) = (2×2 + 2) . (2x + 2)
= (2.2)x(2+1) + (2.2)x + (2.2)x2 + (2+2)
= x0 + x + x2 +1
= x2 + x + 2

11.2 Algoritma Pembagian
Pada bab terdahulu telah dibahas mengenai algoritma pembagian bilangan bulat, dimana bila suatu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat yang lainnya, maka diperoleh suatu hasil bagi (faktor) dan sisa. Dalam sub pokok bahasan ini, akan dibahas mengenai algoritma pembagian polinom-polinom, adapun tentang pembagian itu dapat dinyatakan dalam algoritma pembagian sebagai berikut:
Teorema 11.1: (Algoritma pembagian polinom-polinom)
Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom, f(x), g(x)  R[x] dan g[x]  0, maka terdapat polinom-polinom unik q(x), r(x)  R[x] sedemikian hingga:
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) < derajat g(x).
polinom-polinom q(x) dan r(x) ditentukan secara tunggal oleh f(x) dan g(x) yang diperlukan. Selanjutnya f(x) disebut polinom yang dibagi, g(x) disebut polinom pembagi, q(x) disebut hasil bagi polinom, dan r(x) disebut sisa hasil bagi polinom.
Bukti:
Bila f(x) adalah polinom nol, maka q(x) = 0 dan r(x) = 0 adalah polinom-polinom dari R[x] sehingga:
r(x) = q(x) . g(x) + r(x)
Dengan r(x) = 0
Bila f(x) adalah bukan polinom nol, dimana f(x)  0 dan g(x)  0
Misalkan:
p(x) = a0+a1x1+a2x2+…+anxn , an  0
dan
q(x) = b0+b1x1+b2x2+…+bmxm , bn  0
berarti derajat f(x) = n dan derajat g(x) = m
• Bila n < m berarti derajat f(x) < derajat g(x)
Maka terdapat q(x) = 0 dan r(x) = f(x) di R[x] sehingga
f(x) = q(x).g(x) + r(x)
dengan derajat r(x) = derajat f(x) < derajat g(x)
• Bila n  m berarti derajat f(x)  derajat g(x)
Misalkan:
Pembagian f(x) dan g(x) menghasilkan:
f(x) = (anbm-1xn-m)g(x) + f1(x)
dengan f1(x) adalah polinom berderajat (n-1) di R[x]
pembagian f1(x) dan g(x) pada R[x] terdapat q1(x) danm r(x) di R[x], sehingga:
f1(x) = q1(x).g(x) + r(x)
dengan derajat r(x) = derajat f(x) < derajat g(x)
sehingga diperoleh:
f(x) = (anbm-1xn-m)g(x) + q1(x).g(x) + r(x)
= [(anbm-1xn-m) + q1(x)]g(x) + r(x)
= q(x).g(x) + r(x)
Dengan q(x) = (anbm-1xn-m) + q1(x) dan derajat r(x) = drajat f(x) < derajat g(x). Hasil ini diulang terus sehingga diperoleh hasil yang diinginkan.
Untuk membuktikan keunikan dari q(x) dan r(x), kita misalkan polinom-polinom lain q’(x) dan r’(x) sehingga:
f(x) = q’(x).g(x) + r’(x)
dengan r’(x)=0 atau derajat r’(x) < derajat g(x)
karena berlaku juga:
f(x) = q(x).g(x) + r(x)
dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) < derajat g(x)
diperoleh:
q(x).g(x) + r(x) = q’(x).g(x) + r’(x)
karena itu [q(x) – q’(x)]g(x) = r’(x) – r(x)
sehingga ada kemuningkinan yang didapat:
 q(x) – q’(x) = 0 dan r’(x) –r(x) = 0, sehingga q(x) = q’(x) dan r’(x) = r(x)
 q(x) – q’(x)  r’(x) – r(x)  0
jadi terbukti bahwa q(x) dan r(x) adalah unik.

Keunikan dari faktor g(x) dan keunikan sisa r(x) sama seperti ditunjukkan oleh faktor dan sisa dalam algoritma pembagian bilangan-bilangan bulat. Polinom faktor dan polinom sisa dapat dihitung dengan pembagian panjang dari polinom-polinom tersebut.
Contoh 11.7:
Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut, dimana p(x) = 2×2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi.
Penyelesaian:
Diketahui:
p(x) = 2×2 + 2 adalah polinom yang dibagi
g(x) = 2x + 2 adalah polinom pembagi
p(x) / g(x) = , selanjutnya :
x – 1
2×2 + 2
2×2 + 2x
– 2x + 2
– 2x – 2
4
Dari pembagian polinom-polinom tersebut didapat hasil bagi g(x) = x – 1 dan sisa r(x) = 4.
Sehingga :
p(x) = q(x) . g(x) + r(x)
= (x – 1) . (2x + 2) + 4
= 2×2 – 2x + 2x – 2 +4
= 2×2 + 2
Jadi terbukti bahwa hasil bagi dari p(x) / g(x) = adalah x – 1 dengan sisa 4.
Bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien polinom-polinomnya dianggap sebagai bilangan real. Tetapi bila koefisien polinom-polinomnya ditentukan seperti pada contoh berikut ini, maka koefisien dan derajat dari polinom-polinomnya sesuai dengan koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Misalkan dalam contoh berikut ditentukan dengan Ring Z3[x].
Contoh 11.8:
Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z3[x], dimana p(x) = 2×2 + 2 dan g(x) = 2x + 2, g(x) = polinom pembagi.
Penyelesaian :
Diketahui :
P(x) = 2×2 + 2
adalah polinom yang dibagi dalam Z3[x]
g(x) = 2x + 2
adalah polinom pembagi dalam Z3[x]
artinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah hanya bernilai 0, 1, dan 2 saja.
p(x) / g(x) = , selanjutnya :
x
2×2 + 2
2×2 + 2x
x + 2
dari pembagian polinom-polinom tersebut dalam Z3[x] didapat hasil bagi q(x) = x dan sisa r(x) = x + 2.
Sehingga :
p(x) = q(x) . g(x) + r(x)
= x. (2x + 2) + (x + 2)
= 2×2 + 2x + x + 22
= 2×2 + (2 + 1)x + 2
= 2×2 + 0x + 2
= 2×2 + 2
Jadi terbukti bahwa hasil bagi dalam Z3[x] dari p(x)/g(x) =
adalah x dengan sisa x + 2.

Contoh 11.9:
Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z4[x], dimana p(x) = 3×3 + 3×2 + 2x + 1 dan g(x) = x2 + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dan g(x) polinom pembagi.
Penyelesaian:
Diketahui :
p(x) = 3×3 + 3×2 + 2x + 1 adalah polinom yang dibagi dalam Z4[x]
g(x) = x2 + 2 adalah polinom pembagi dalam Z4[x].
artinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah hanya bernilai 0, 1, 2, dan 3 saja.
p(x) / g(x) = , selanjutnya:
3x + 3
3×3 + 3×2 + 2x + 1
3×3 + 2x
3×2 + 1
3×2 + 2
3
Dari pembagian polinom-polinom tersebut dalam Z4[x] didapat hasil bagi q(x) = 3x + 3 dan sisa r(x) = 3.
Sehingga :
p(x) = q(x) . g(x) + r(x)
= (3x + 3) . (x2 + 2)
= (3x +3) .(x2 + 2) + 3
= 3×3 + 3×2 + (3.2)x + (3.2) + 3
= 3×3 + 3×2 + 2x + 2 + 3
=3×3 + 3×2 + 2x + 1
Jadi pembagian polinom-polinom tersebut dalam Z4[x] dari p(x) / g(x) =
adalah 3x + 3 dengan sisa 3.

11.3 Unsur Tereduksi dan Tidak Tereduksi
Pada sub pokok bahasan ini kita akan mempelajari tentang unsur tereduksi dan tidak tereduksi pada Ring polinom. Adapun definisi-definisinya adalah sebagai berikut:

Definisi 11.6:
Misalkan f(x) adalah suatu polinom dan R[x} adalah merupakan Ring Polinom, f(x)  R[x] dikatakan polinom monik bila koefisien x dengan pangkat tertingginya adalah 1.
Definisi 11.7:
Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom dan R[x] merupakan ring polinomnya, sehingga f(x), g(x)  R[x]. Polinomnya g(x) dikatakan membagi f(x) dengan g(x)  0, ditulis g(x)  f(x), bila f(x) = a(x).g(x) untuk suatu a(x)  R[x].

Definisi 11.8:
Polinom d(x)  R[x] disebut membagi sekutu terbesar dari f(x), g(x)  R[x], dinotasikan dengan (f(x),g(x)) = d(x) dengan f(x) dan g(x) tidak boleh keduanya nol, bila d(x) adalah polinom monik sehingga:
• d(x)  f(x) dan d(x)  g(x)
• jika (x) f(x) dan (x)  g(x), maka (x)  d(x)
Definisi 11.9:
Polinom-polinom f(x), g(x)  R[x] dikatakan relative prima jika membagi sekutu terbesarnya adalah 1.

Definisi 11.10:
Suatu polinom tak konstan f(x)  R[x] dikatakan tak tereduksi atas R jika f(x) tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(x), h(x)  R[x] dengan derajat (g,h) < derajat (f).

Contoh 11. 10:
Polinom f(x) = xn + an-1xn + … + a1x + a0 adalah merupakan polinom monik

Contoh 11. 11:
Misalkan f(x) = x2 + 2  R[x] dikatakan membagi g(x) = 2×2 + 4  R[x], ditulis x2 + 2 2×2 + 4 karena 2×2 + 4 = 2(x2 + 2)

Contoh 11. 13:
Pembagi sekutu terbesar antara p(x) = x6 + x3 + x + 1 dengan q(x) = x+1 adalah x + 1 adalah polinom monik sehingga:
 (x+1) (x6 + x3 + x + 1) dan (x + 1)  (x + 1)
 Jika (x)  (x6 + x3 + x + 1) dan (x)  (x + 1), maka (x)  (x + 1)

Contoh 11. 14:
p(x) = x – 1 dengan g(x) = x + 1 adalah merupakan relatif prima

Contoh 11. 15:
f(x) = x2 – 3 tidak tereduksi di Q[x], karena x2 – 3 tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(x), h(x)  Q[x] dengan derajat (g,h) < derajat (f)

Teorema 11.2:
Bila f(x)  R[x] dan misalkan derajat (f(x)) = 2 atau 3, maka berlaku f(x) tereduksi atas R jika dan hanya jika f mempunyai pembuat nol di R.
Bukti:
 misalkan f(x) tereduksi atas R
berarti f(x) = g(x).h(x) dengan 0 < derajat (g(x)) dan derajat (h(x)) < derajat (f(x)). Diperoleh g(x) atau h(x) berderajat 1.
Misalkan g(x) berderajat 1, maka g(x) = x – a, untuk a R, berarti g(a) = 0 sehingga f(a) = 0.
Jadi f mempunyai pembuat nol di R.
 misalkan f(a) = 0 dan a R
berarti (x-a) adalah factor dari f(x)
jadi f(x) tereduksi atas R.

Contoh 11.17:
Tunjukkan bahwa polinom p(x) = x2 + x + 2 tidak tereduksi atas Z3.
Penyelesaian:
Z3 = {0,1,2}, maka diperoleh:
P(0) = 02 + 0 + 2
= 2
P(1) = 12 + 1 + 2
= 1 + 0
= 1
P(2) = 22 + 2 + 2
= 1 + 1
= 2
Karena tidak terdapat x  Z3 sehingga p(x) = 0
Jadi p(x) tidak teredukdi atas Z3

Contoh 11.18
Tunjukkan bahwa polinom p(x) = x2 + X + 1 tereduksi atas Z3
Penyelesaian:
Z3 = {0,1,2}, maka diperoleh:
P(0) = 02 + 0 + 1
= 1
P(1) = 12 + 1 + 1
= 1 + 2
= 0
P(2) = 22 + 2 + 1
= 1 + 0
= 1
Karena terdapat x = 1  Z3 sehingga p(1) = 0
Jadi p(x) tereduksi atas Z3.

11.4 Rangkuman
1. Bentuk umum dari suatu polinom (suku banyak) adalah p(x) = a0+a1x1+a2x2+…+anxn = ixi dimana ai adalah koefisien dari p(x). Bila xn  0 maka derajat dari p(x) adalah n dan bila n = 0 maka derajat p(x) adalah nol.

1. Misalkan dua buah polinom p(x) = a0+a1x1+a2x2+…+anxn dan q(x) = b0+b1x1+b2x2+…+bmxm dikatakan sama jika dan hanya jika ai = bi untuk semua i  0. penjumlahan polinom-polinom p(x) + q(x) = C0 + C1x1 + C2x2 + …..+ Ckxk + dimana k = maks {n,m} untuk setiap i, Ci = ai + bi, untuk 0 ≤ I ≤ k. perkalian polinom-polinom p(x) . q(x) = C0 + C1x1 + C2x2 + …..+ Ckxk dimana k = n + m untuk setiap i, Ci = aib0 + ai-1¬b1+ ……+a1bi-1 + a0bi.
2. Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. R[x] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R[x] = {p(x), q(x), r(x), …} untuk p(x)= ixi, q(x)= ixi,… dan ai  R.
3. Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom, f(x), g(x)  R[x] dan g[x]  0, maka terdapat polinom-polinom unik q(x), r(x)  R[x] sedemikian hingga:
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
dengan r(x) = 0 atau derajat r(x) < derajat g(x).polinom-polinom q(x) dan r(x) ditentukan secara tunggal oleh f(x) dan g(x) yang diperlukan. Selanjutnya f(x) disebut polinom yang dibagi, g(x) disebut polinom pembagi, q(x) disebut hasil bagi polinom, dan r(x) disebut sisa hasil bagi polinom
4. Misalkan f(x) adalah suatu polinom dan R[x} adalah merupakan Ring Polinom, f(x)  R[x] dikatakan polinom monik bila koefisien x dengan pangkat tertingginya adalah 1.
5. Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah polinom dan R[x] merupakan ring polinomnya, sehingga f(x), g(x)  R[x]. Polinomnya g(x) dikatakan membagi f(x) dengan g(x)  0, ditulis g(x)  f(x), bila f(x) = a(x).g(x) untuk suatu a(x)  R[x].
6. Polinom d(x)  R[x] disebut membagi sekutu terbesar dari f(x), g(x)  R[x], dinotasikan dengan (f(x),g(x)) = d(x) dengan f(x) dan g(x) tidak boleh keduanya nol, bila d(x) adalah polinom monik sehingga:
• d(x)  f(x) dan d(x)  g(x)
• jika (x) f(x) dan (x)  g(x), maka (x)  d(x)

7. Suatu polinom tak konstan f(x)  R[x] dikatakan tak tereduksi atas R jika f(x) tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(x), h(x)  R[x] dengan derajat (g,h) < derajat (f).
8. Bila f(x)  R[x] dan misalkan derajat (f(x)) = 2 atau 3, maka berlaku f(x) tereduksi atas R jika dan hanya jika f mempunyai pembuat nol di R.

11. 5. Soal-soal Latihan

1. Diketahui polinom-polinom f(x) = 3×3 + x2 + 2x + 2 dan g(x) = x2 + 3.
Carilah :
a. f(x) + g(x) dalam Q[x]
b. f(x) – g(x) dalam Q[x]
c. f(x) x g(x) dalam Q[x]
d. f(x) : g(x) dalam Q[x]

2. Diketahui polinom-polinom f(x) = 3×3 + x2 + 2x + 2 dan g(x) = x2 + 3.
Carilah :
a. f(x) + g(x) dalam Z4[x]
b. f(x) – g(x) dalam Z4 [x]
c. f(x) x g(x) dalam Z4 [x]
d. f(x) : g(x) dalam Z4 [x]

3. Diketahui polinom-polinom f(x) = 3×4 + 4×3 – x2 + 3x-1 dan g(x) = 2×2 + x +1.
Carilah :
a. f(x) + g(x) dalam Q[x]
b. f(x) – g(x) dalam Q[x]
c. f(x) x g(x) dalam Q[x]]
d. f(x) : g(x) dalam Q[x]

4. Diketahui polinom-polinom f(x) = 3×4 + 4×3 – x2 + 3x-1 dan g(x) = 2×2 + x +1.
Carilah :
a. f(x) + g(x) dalam Z5[x]
b. f(x) – g(x) dalam Z5[x]
c. f(x) x g(x) dalam Z5[x]
d. f(x) : g(x) dalam Z5[x]

5. Diketahui polinom-polinom f(x) = x7 + x6 + x5 + x4 +x+1 dan g(x) = x3 + x +1.
Carilah :
a. f(x) + g(x) dalam Z2[x]
b. f(x) – g(x) dalam Z2[x]
c. f(x) x g(x) dalam Z2[x]
d. f(x) : g(x) dalam Z2[x]

6. Periksalah apakah polinom – polinom berikut tereduksi atau tidak tereduksi
a. p(x) = x5 + 3×4 + x3 + 4×2 + 2x + 5 di Z6[x]
b. p(x) = x2 – 4 di R[x]
c. p(x) = x7 + 3 di Z10 [x]
d. p(x) = x6 + 1 di Z11 [x]

DAFTAR PUSTAKA
Dublin J. R. 1985. Modern Algebra. New York: John Willey & Sons.

Herstein, I.N. 1975. Topic In Algebra, 2nd Edition. New York: John Willey & Sons.

Hidayanto, Erry. 2001. Struktur Aljabar. Malang: Universitas Negeri Malang.

Soebagjo, A.S. 1993. Materi Pokok Struktur Aljabar. Jakarta: Universitas Terbuka, Depdikbud.

Wahyudin, 1989. Aljabar Modern. Bandung: Tarsito.

RIWAYAT PENULIS

Retni Paradesa, S. Pd. menyelesaikan gelar sarjana S1 nya pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas Sanata Dharma Yogyakarta pada tahun 2005.
Pada tahun 2006 – sekarang menjadi dosen tetap yayasan di STKIP PGRI Lubuklinggau. Untuk mata kuliah Struktur Aljabar, Kalkulus 1, Matematika Diskrit, dan Analisis Kompleks.
Pada tahun 2006-2008 bekerja menjadi guru honor di SMP Xaverius Lubuklinggau pada bidang studi matematika.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d blogger menyukai ini: